Theorem decsplitOLD 15791

Description: Obsolete version of decsplit 15787 as of 9-Sep-2021. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsplit0OLD.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decsplitOLD.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decsplitOLD.3	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decsplitOLD.4	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
decsplitOLD.5	⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
decsplitOLD.6	⊢ ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decsplitOLD	⊢ ((𝐴 · (10↑𝑁)) + ;𝐵𝐷) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decsplitOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0OLD 11317	. . . . . 6 ⊢ 10 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 11304	. . . . 5 ⊢ 10 ∈ ℂ
3		decsplit0OLD.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 11304	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		decsplitOLD.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
6		expcl 12878	. . . . . . 7 ⊢ ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (10↑𝑀) ∈ ℂ)
7	2, 5, 6	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ (10↑𝑀) ∈ ℂ
8	4, 7	mulcli 10045	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
9	2, 8	mulcli 10045	. . . 4 ⊢ (10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) ∈ ℂ
10		decsplitOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
11	1, 10	nn0mulcli 11331	. . . . 5 ⊢ (10 · 𝐵) ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 11304	. . . 4 ⊢ (10 · 𝐵) ∈ ℂ
13		decsplitOLD.3	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 11304	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
15	9, 12, 14	addassi 10048	. . 3 ⊢ (((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷))
16	10	nn0cni 11304	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
17	2, 8, 16	adddii 10050	. . . . 5 ⊢ (10 · ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵)) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵))
18		decsplitOLD.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
19	18	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ (10 · ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵)) = (10 · 𝐶)
20	17, 19	eqtr3i 2646	. . . 4 ⊢ ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) = (10 · 𝐶)
21	20	oveq1i 6660	. . 3 ⊢ (((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
22	15, 21	eqtr3i 2646	. 2 ⊢ ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷)) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
23		decsplitOLD.5	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
24	7, 2	mulcomi 10046	. . . . . 6 ⊢ ((10↑𝑀) · 10) = (10 · (10↑𝑀))
25	1, 5, 23, 24	numexpp1 15782	. . . . 5 ⊢ (10↑𝑁) = (10 · (10↑𝑀))
26	25	oveq2i 6661	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (10↑𝑁)) = (𝐴 · (10 · (10↑𝑀)))
27	4, 2, 7	mul12i 10231	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (10 · (10↑𝑀))) = (10 · (𝐴 · (10↑𝑀)))
28	26, 27	eqtri 2644	. . 3 ⊢ (𝐴 · (10↑𝑁)) = (10 · (𝐴 · (10↑𝑀)))
29		dfdecOLD 11495	. . 3 ⊢ ;𝐵𝐷 = ((10 · 𝐵) + 𝐷)
30	28, 29	oveq12i 6662	. 2 ⊢ ((𝐴 · (10↑𝑁)) + ;𝐵𝐷) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷))
31		dfdecOLD 11495	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
32	22, 30, 31	3eqtr4i 2654	1 ⊢ ((𝐴 · (10↑𝑁)) + ;𝐵𝐷) = ;𝐶𝐷

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  10c10 11078  ℕ₀cn0 11292  ;cdc 11493  ↑cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-10OLD 11087  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by: (None)