Theorem expcl 12878

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 10020	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 9994	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 12871	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℕ₀cn0 11292  ↑cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  expeq0  12890  expnegz  12894  mulexp  12899  mulexpz  12900  expadd  12902  expaddzlem  12903  expaddz  12904  expmul  12905  expmulz  12906  expdiv  12911  binom3  12985  digit2  12997  digit1  12998  expcld  13008  faclbnd2  13078  faclbnd4lem4  13083  faclbnd6  13086  cjexp  13890  absexp  14044  ackbijnn  14560  binomlem  14561  binom1p  14563  binom1dif  14565  expcnv  14596  geolim  14601  geolim2  14602  geo2sum  14604  geomulcvg  14607  geoisum  14608  geoisumr  14609  geoisum1  14610  geoisum1c  14611  0.999...  14612  0.999...OLD  14613  fallrisefac  14756  0risefac  14769  binomrisefac  14773  bpolysum  14784  bpolydiflem  14785  fsumkthpow  14787  bpoly3  14789  bpoly4  14790  fsumcube  14791  eftcl  14804  eftabs  14806  efcllem  14808  efcj  14822  efaddlem  14823  eflegeo  14851  efi4p  14867  prmreclem6  15625  decsplitOLD  15791  karatsuba  15792  karatsubaOLD  15793  expmhm  19815  mbfi1fseqlem6  23487  itg0  23546  itgz  23547  itgcl  23550  itgcnlem  23556  itgsplit  23602  dvexp  23716  dvexp3  23741  plyf  23954  ply1termlem  23959  plypow  23961  plyeq0lem  23966  plypf1  23968  plyaddlem1  23969  plymullem1  23970  coeeulem  23980  coeidlem  23993  coeid3  23996  plyco  23997  dgrcolem2  24030  plycjlem  24032  plyrecj  24035  vieta1  24067  elqaalem3  24076  aareccl  24081  aalioulem1  24087  geolim3  24094  psergf  24166  dvradcnv  24175  psercn2  24177  pserdvlem2  24182  pserdv2  24184  abelthlem4  24188  abelthlem5  24189  abelthlem6  24190  abelthlem7  24192  abelthlem9  24194  advlogexp  24401  logtayllem  24405  logtayl  24406  logtaylsum  24407  logtayl2  24408  cxpeq  24498  dcubic1lem  24570  dcubic2  24571  dcubic1  24572  dcubic  24573  mcubic  24574  cubic2  24575  cubic  24576  binom4  24577  dquartlem2  24579  dquart  24580  quart1cl  24581  quart1lem  24582  quart1  24583  quartlem1  24584  quartlem2  24585  quart  24588  atantayl  24664  atantayl2  24665  atantayl3  24666  leibpi  24669  log2cnv  24671  log2tlbnd  24672  log2ublem3  24675  ftalem1  24799  ftalem4  24802  ftalem5  24803  basellem3  24809  musum  24917  1sgmprm  24924  perfect  24956  lgsquadlem1  25105  rplogsumlem2  25174  ostth2lem2  25323  numclwlk3lem3  27206  ipval2  27562  dipcl  27567  dipcn  27575  subfacval2  31169  jm2.23  37563  lhe4.4ex1a  38528  perfectALTV  41632  altgsumbc  42130  altgsumbcALT  42131  nn0digval  42394