Theorem dpfrac1OLD 29600

Description: Obsolete version of dpfrac1 29599 as of 9-Sep-2021. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dpfrac1OLD	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (;𝐴𝐵 / 10))

Proof of Theorem dpfrac1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdp2OLD 29579	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
2		dpval 29597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = _𝐴𝐵)
3		nn0cn 11302	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		recn 10026	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5		dfdecOLD 11495	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
6	5	oveq1i 6660	. . . 4 ⊢ (;𝐴𝐵 / 10) = (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10)
7		10reOLD 11109	. . . . . . . 8 ⊢ 10 ∈ ℝ
8	7	recni 10052	. . . . . . 7 ⊢ 10 ∈ ℂ
9		mulcl 10020	. . . . . . 7 ⊢ ((10 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (10 · 𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	mpan 706	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (10 · 𝐴) ∈ ℂ)
11		10posOLD 11123	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 10
12	7, 11	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . 8 ⊢ 10 ≠ 0
13	8, 12	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)
14		divdir 10710	. . . . . . 7 ⊢ (((10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)))
15	13, 14	mp3an3 1413	. . . . . 6 ⊢ (((10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)))
16	10, 15	sylan 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)))
17		divcan3 10711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) → ((10 · 𝐴) / 10) = 𝐴)
18	8, 12, 17	mp3an23 1416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((10 · 𝐴) / 10) = 𝐴)
19	18	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
20	19	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
21	16, 20	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
22	6, 21	syl5eq 2668	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (;𝐴𝐵 / 10) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
23	3, 4, 22	syl2an 494	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (;𝐴𝐵 / 10) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
24	1, 2, 23	3eqtr4a 2682	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (;𝐴𝐵 / 10))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939   · cmul 9941   / cdiv 10684  10c10 11078  ℕ₀cn0 11292  ;cdc 11493  _cdp2 29577  .cdp 29595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-10OLD 11087  df-n0 11293  df-dec 11494  df-dp2 29578  df-dp 29596

This theorem is referenced by: (None)