Theorem dstregt0 39493

Description: A complex number 𝐴 that is not real, has a distance from the reals that is strictly larger than 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
dstregt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ))

Assertion

Ref	Expression
dstregt0	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem dstregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstregt0.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifad 3586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	imcld 13935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 10068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
5	1	eldifbd 3587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
6		reim0b 13859	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
7	2, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
8	5, 7	mtbid 314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (ℑ‘𝐴) = 0)
9	8	neqned 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
10	4, 9	absrpcld 14187	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
11	10	rphalfcld 11884	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
12	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		recn 10026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
14	13	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
15	12, 14	imsubd 13957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝑦)))
16		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	reim0d 13965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑦) = 0)
18	17	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝑦)) = ((ℑ‘𝐴) − 0))
19	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
20	19	subid1d 10381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
21	15, 18, 20	3eqtrrd 2661	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)))
22	21	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))))
23	22	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) = ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2))
24	21, 19	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ ℂ)
25	24	abscld 14175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ∈ ℝ)
26	25	rehalfcld 11279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) ∈ ℝ)
27	12, 14	subcld 10392	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ)
28	27	abscld 14175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)
29	9	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
30	21, 29	eqnetrrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)) ≠ 0)
31	24, 30	absrpcld 14187	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ∈ ℝ+)
32		rphalflt 11860	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ∈ ℝ+ → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) < (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))))
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) < (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))))
34		absimle 14049	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
35	27, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
36	26, 25, 28, 33, 35	ltletrd 10197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
37	23, 36	eqbrtrd 4675	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
38	37	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
39		breq1 4656	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)) ↔ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦))))
40	39	ralbidv 2986	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦))))
41	40	rspcev 3309	. 2 ⊢ ((((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
42	11, 38, 41	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ∖ cdif 3571   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  2c2 11070  ℝ⁺crp 11832  ℑcim 13838  abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  limcrecl  39861