Theorem rphalfcld 11884

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 11858	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650   / cdiv 10684  2c2 11070  ℝ⁺crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  nnesq  12988  rlimuni  14281  climuni  14283  reccn2  14327  iseralt  14415  mertenslem1  14616  mertenslem2  14617  ege2le3  14820  rpcoshcl  14887  sqrt2irrlem  14977  sqrt2irrlemOLD  14978  4sqlem7  15648  ssblex  22233  methaus  22325  met2ndci  22327  metustexhalf  22361  cfilucfil  22364  nlmvscnlem2  22489  nlmvscnlem1  22490  nrginvrcnlem  22495  reperflem  22621  icccmplem2  22626  metdcnlem  22639  metnrmlem2  22663  metnrmlem3  22664  ipcnlem2  23043  ipcnlem1  23044  minveclem3  23200  ovollb2lem  23256  ovolunlem2  23266  uniioombl  23357  itg2cnlem2  23529  itg2cn  23530  lhop1lem  23776  lhop1  23777  aaliou2b  24096  ulmcn  24153  pserdvlem1  24181  pserdv  24183  cxpcn3lem  24488  lgamgulmlem3  24757  lgamucov  24764  ftalem2  24800  bposlem7  25015  bposlem9  25017  lgsquadlem2  25106  chebbnd1lem2  25159  pntibndlem3  25281  pntibnd  25282  pntlemr  25291  lt2addrd  29516  tpr2rico  29958  knoppndvlem17  32519  tan2h  33401  mblfinlem4  33449  sstotbnd2  33573  dstregt0  39493  suplesup  39555  infleinf  39588  lptre2pt  39872  0ellimcdiv  39881  limsupgtlem  40009  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  stoweidlem62  40279  stirlinglem1  40291