Theorem elicod 12224

Description: Membership in a left closed, right open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 12218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1245	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  [,)cico 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-xr 10078  df-ico 12181

This theorem is referenced by:  fprodge1  14726  absfico  39410  icoiccdif  39750  icoopn  39751  eliccnelico  39756  eliccelicod  39757  ge0xrre  39758  uzinico  39787  fsumge0cl  39805  limsupresico  39932  limsuppnfdlem  39933  limsupmnflem  39952  liminfresico  40003  limsup10exlem  40004  liminflelimsupuz  40017  xlimmnfvlem2  40059  icocncflimc  40102  fourierdlem41  40365  fourierdlem46  40369  fourierdlem48  40371  fouriersw  40448  fge0iccico  40587  sge0tsms  40597  sge0repnf  40603  sge0pr  40611  sge0iunmptlemre  40632  sge0rpcpnf  40638  sge0rernmpt  40639  sge0ad2en  40648  sge0xaddlem2  40651  voliunsge0lem  40689  meassre  40694  meaiuninclem  40697  omessre  40724  omeiunltfirp  40733  hoiprodcl  40761  hoicvr  40762  ovnsubaddlem1  40784  hoiprodcl3  40794  hoidmvcl  40796  hoidmv1lelem3  40807  hoidmvlelem3  40811  hoidmvlelem5  40813  hspdifhsp  40830  hoiqssbllem1  40836  hoiqssbllem2  40837  hspmbllem2  40841  volicorege0  40851  ovolval5lem1  40866  iunhoiioolem  40889  preimaicomnf  40922  mod42tp1mod8  41519