Theorem elprchashprn2 13184

Description: If one element of an unordered pair is not a set, the size of the unordered pair is not 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elprchashprn2	⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Proof of Theorem elprchashprn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprc1 4300	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → {𝑀, 𝑁} = {𝑁})
2		hashsng 13159	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ V → (#‘{𝑁}) = 1)
3		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (#‘{𝑀, 𝑁}) = (#‘{𝑁}))
4	3	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (#‘{𝑁}) = (#‘{𝑀, 𝑁}))
5	4	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ((#‘{𝑁}) = 1 ↔ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 1))
6	5	biimpa 501	. . . . . 6 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (#‘{𝑁}) = 1) → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
7		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
8		1ne2 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 2
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → 1 ≠ 2)
10	7, 9	eqnetrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (#‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
11	10	neneqd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
12	6, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (#‘{𝑁}) = 1) → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
13	12	expcom 451	. . . 4 ⊢ ((#‘{𝑁}) = 1 → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
14	2, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
15		snprc 4253	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = ∅)
16		eqeq2 2633	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ↔ {𝑀, 𝑁} = ∅))
17	16	biimpa 501	. . . . . 6 ⊢ (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → {𝑀, 𝑁} = ∅)
18		hash0 13158	. . . . . 6 ⊢ (#‘∅) = 0
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (#‘{𝑀, 𝑁}) = (#‘∅))
20	19	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (#‘∅) = (#‘{𝑀, 𝑁}))
21	20	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → ((#‘∅) = 0 ↔ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 0))
22	21	biimpa 501	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (#‘∅) = 0) → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
23		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
24		0ne2 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 2
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → 0 ≠ 2)
26	23, 25	eqnetrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (#‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
27	26	neneqd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
28	22, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (#‘∅) = 0) → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
29	17, 18, 28	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
30	29	ex 450	. . . 4 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
31	15, 30	sylbi 207	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
32	14, 31	pm2.61i 176	. 2 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
33	1, 32	syl 17	1 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  ∅c0 3915  {csn 4177  {cpr 4179  ‘cfv 5888  0cc0 9936  1c1 9937  2c2 11070  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hashprb  13185