Theorem hash0 13158

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (#‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 4790	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 13154	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((#‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((#‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 221	1 ⊢ (#‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915  ‘cfv 5888  0cc0 9936  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  13161  hashrabsn01  13162  hashrabsn1  13163  hashge0  13176  elprchashprn2  13184  hash1  13192  hashsn01  13204  hashgt12el  13210  hashgt12el2  13211  hashfzo  13216  hashfzp1  13218  hashxplem  13220  hashmap  13222  hashbc  13237  hashf1lem2  13240  hashf1  13241  hash2pwpr  13258  lsw0g  13353  ccatlid  13369  ccatrid  13370  s1nzOLD  13387  rev0  13513  repswsymballbi  13527  fsumconst  14522  incexclem  14568  incexc  14569  fprodconst  14708  sumodd  15111  hashgcdeq  15494  prmreclem4  15623  prmreclem5  15624  0hashbc  15711  ramz2  15728  cshws0  15808  psgnunilem2  17915  psgnunilem4  17917  psgn0fv0  17931  psgnsn  17940  psgnprfval1  17942  efginvrel2  18140  efgredleme  18156  efgcpbllemb  18168  frgpnabllem1  18276  gsumconst  18334  ltbwe  19472  fta1g  23927  fta1  24063  birthdaylem3  24680  ppi1  24890  musum  24917  rpvmasum  25215  umgrislfupgrlem  26017  lfuhgr1v0e  26146  uvtxa01vtx  26298  vtxdg0e  26370  vtxdlfgrval  26381  rusgr1vtxlem  26483  wspn0  26820  rusgrnumwwlkl1  26863  rusgr0edg  26868  0ewlk  26975  0wlk  26977  0wlkon  26981  0pth  26986  0clwlk  26991  0crct  26993  0cycl  26994  eupth0  27074  eulerpathpr  27100  f1ocnt  29559  esumcst  30125  cntmeas  30289  ballotlemfval0  30557  signsvtn0  30647  signstfvneq0  30649  signstfveq0  30654  signsvf0  30657  derangsn  31152  subfacp1lem6  31167  poimirlem25  33434  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436  poimirlem28  33437  rp-isfinite6  37864  fzisoeu  39514