Theorem gcd0id 15240

Description: The gcd of 0 and an integer is the integer's absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcd0id	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Proof of Theorem gcd0id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcd0val 15219	. . . 4 ⊢ (0 gcd 0) = 0
2		oveq2 6658	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
3		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = (abs‘0))
4		abs0 14025	. . . . 5 ⊢ (abs‘0) = 0
5	3, 4	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = 0)
6	1, 2, 5	3eqtr4a 2682	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
7	6	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
8		0z 11388	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		gcddvds 15225	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
10	8, 9	mpan 706	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
11	10	simprd 479	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
13		gcdcl 15228	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
14	8, 13	mpan 706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 11480	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
16		dvdsleabs 15033	. . . . . 6 ⊢ (((0 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
17	15, 16	syl3an1 1359	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
18	17	3anidm12 1383	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
19	12, 18	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁))
20		zabscl 14053	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
21		dvds0 14997	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝑁) ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
23		iddvds 14995	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
24		absdvdsb 15000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
25	24	anidms 677	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
26	23, 25	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 𝑁)
27	22, 26	jca 554	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
28	27	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
29		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = 0
30	29	biantrur 527	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
31	30	necon3abii 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
32		dvdslegcd 15226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
33	32	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
34	8, 33	mp3an2 1412	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
35	20, 34	mpancom 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
36	31, 35	syl5bi 232	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≠ 0 → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
37	36	imp 445	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
38	28, 37	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))
39	15	zred 11482	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
40	20	zred 11482	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
41	39, 40	letri3d 10179	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
42	41	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
43	19, 38, 42	mpbir2and 957	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
44	7, 43	pm2.61dane 2881	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936   ≤ cle 10075  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  abscabs 13974   ∥ cdvds 14983   gcd cgcd 15216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217

This theorem is referenced by:  gcdid0  15241  nn0gcdsq  15460  dfphi2  15479  qqh0  30028