Theorem nn0zd 11480

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 11398	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sseldi 3601	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  nnzd  11481  eluzmn  11694  difelfznle  12453  zmodfz  12692  expnegz  12894  expaddzlem  12903  expaddz  12904  expmulz  12906  faclbnd  13077  bcpasc  13108  hashf1  13241  fz1isolem  13245  hashge2el2dif  13262  hashtpg  13267  wrdffz  13326  wrdsymb0  13339  wrdlenge1n0  13340  ccatcl  13359  ccatval3  13363  ccatsymb  13366  ccatass  13371  ccatrn  13372  lswccatn0lsw  13373  ccats1val2  13404  swrdnd  13432  swrdtrcfv0  13442  swrdtrcfvl  13450  swrdccat1  13457  swrdccat2  13458  swrdccatin2  13487  swrdccatin12  13491  splfv2a  13507  splval2  13508  revcl  13510  revccat  13515  revrev  13516  cshwmodn  13541  cshwsublen  13542  cshwn  13543  cshwidxmod  13549  2cshwid  13560  3cshw  13564  cshweqdif2  13565  revco  13580  ccatco  13581  ccat2s1fvwALT  13698  ofccat  13708  zabscl  14053  absrdbnd  14081  iseraltlem3  14414  fsum0diaglem  14508  modfsummods  14525  binomlem  14561  binom1p  14563  incexc2  14570  climcndslem1  14581  geoser  14599  pwm1geoser  14600  geolim2  14602  mertenslem1  14616  mertenslem2  14617  mertens  14618  binomfallfaclem2  14771  binomrisefac  14773  fallfacval4  14774  bpolydiflem  14785  ruclem10  14968  sumodd  15111  divalglem9  15124  divalgmod  15129  divalgmodOLD  15130  bitsfzolem  15156  bitsfzo  15157  bitsmod  15158  bitsfi  15159  bitsinv1lem  15163  sadcaddlem  15179  sadadd3  15183  sadaddlem  15188  sadadd  15189  sadasslem  15192  sadass  15193  sadeq  15194  bitsres  15195  bitsuz  15196  bitsshft  15197  smuval2  15204  smupvallem  15205  smupval  15210  smueqlem  15212  smumullem  15214  smumul  15215  gcdcllem1  15221  zeqzmulgcd  15232  gcd0id  15240  gcdneg  15243  modgcd  15253  bezoutlem4  15259  dvdsgcdb  15262  gcdass  15264  mulgcd  15265  gcdzeq  15271  dvdsmulgcd  15274  bezoutr  15281  bezoutr1  15282  nn0seqcvgd  15283  algfx  15293  eucalginv  15297  eucalg  15300  gcddvdslcm  15315  lcmneg  15316  lcmgcdlem  15319  lcmdvds  15321  lcmgcdeq  15325  lcmdvdsb  15326  lcmass  15327  lcmftp  15349  lcmfunsnlem1  15350  lcmfunsnlem2lem1  15351  lcmfunsnlem2lem2  15352  lcmfunsnlem2  15353  lcmfdvdsb  15356  lcmfun  15358  lcmfass  15359  mulgcddvds  15369  rpmulgcd2  15370  qredeu  15372  divgcdcoprm0  15379  sqnprm  15414  divnumden  15456  powm2modprm  15508  coprimeprodsq  15513  iserodd  15540  pclem  15543  pcpre1  15547  pcpremul  15548  pcqcl  15561  pcdvdsb  15573  pcidlem  15576  pc2dvds  15583  pcprmpw2  15586  dvdsprmpweqle  15590  pcadd  15593  pcfac  15603  pcbc  15604  pockthlem  15609  prmreclem2  15621  prmreclem3  15622  mul4sqlem  15657  4sqlem11  15659  4sqlem12  15660  4sqlem14  15662  vdwapun  15678  prmgaplcmlem1  15755  lagsubg  17656  psgnuni  17919  psgnran  17935  odmodnn0  17959  mndodconglem  17960  mndodcong  17961  odmulg2  17972  odmulg  17973  odmulgeq  17974  odbezout  17975  odinv  17978  odf1  17979  gexod  18001  gexdvds3  18005  sylow1lem1  18013  sylow1lem3  18015  pgpfi  18020  pgpssslw  18029  sylow2alem2  18033  sylow2blem3  18037  fislw  18040  sylow3lem4  18045  sylow3lem6  18047  efginvrel2  18140  efgredlemf  18154  efgredlemd  18157  efgredlemc  18158  efgredlem  18160  efgcpbllemb  18168  odadd1  18251  odadd2  18252  gexexlem  18255  gexex  18256  torsubg  18257  lt6abl  18296  gsummulg  18342  ablfacrplem  18464  ablfacrp  18465  ablfacrp2  18466  ablfac1b  18469  ablfac1c  18470  ablfac1eulem  18471  ablfac1eu  18472  pgpfac1lem2  18474  pgpfaclem1  18480  ablfaclem3  18486  srgbinomlem3  18542  srgbinomlem4  18543  psrbaglefi  19372  chrid  19875  znunit  19912  psgnghm  19926  chfacfscmulfsupp  20664  chfacfpmmulfsupp  20668  cpmadugsumlemF  20681  dyadss  23362  dyaddisjlem  23363  ply1divex  23896  ply1termlem  23959  plyeq0lem  23966  plyaddlem1  23969  plymullem1  23970  coeeulem  23980  coeidlem  23993  coeeq2  23998  coemulhi  24010  dvply1  24039  dvply2g  24040  plydivex  24052  elqaalem2  24075  aareccl  24081  aannenlem1  24083  aalioulem1  24087  taylplem1  24117  taylplem2  24118  taylpfval  24119  dvtaylp  24124  taylthlem2  24128  dvradcnv  24175  abelthlem7  24192  cxpeq  24498  birthdaylem2  24679  ftalem1  24799  basellem3  24809  isppw2  24841  isnsqf  24861  mule1  24874  ppinncl  24900  musum  24917  chtublem  24936  pclogsum  24940  vmasum  24941  dchrabs  24985  bcmax  25003  bposlem1  25009  bposlem6  25014  lgsval2lem  25032  lgsmod  25048  lgsdirprm  25056  lgsne0  25060  gausslemma2dlem0h  25088  gausslemma2dlem0i  25089  gausslemma2dlem2  25092  gausslemma2dlem6  25097  gausslemma2d  25099  lgseisenlem1  25100  lgseisenlem2  25101  lgseisenlem3  25102  lgseisenlem4  25103  lgsquadlem1  25105  m1lgs  25113  2lgslem1a  25116  2lgslem3a  25121  2lgslem3b  25122  2lgslem3c  25123  2lgslem3d  25124  2lgslem3d1  25128  2lgsoddprmlem2  25134  2sqlem8  25151  chebbnd1lem1  25158  dchrisumlem1  25178  dchrisum0flblem1  25197  selberg2lem  25239  ostth2lem2  25323  ostth2lem3  25324  finsumvtxdg2sstep  26445  finsumvtxdgeven  26448  vtxdgoddnumeven  26449  redwlklem  26568  wlkdlem1  26579  pthdlem1  26662  crctcshwlkn0lem4  26705  wwlksnredwwlkn0  26791  wwlksnextproplem1  26804  wwlksnextproplem2  26805  clwwlksndivn  26957  eupth2lem3lem3  27090  eupth2lem3lem4  27091  eupth2lem3  27096  eupth2lems  27098  numclwwlk5  27246  numclwwlk6  27248  ex-ind-dvds  27318  nndiffz1  29548  2sqcoprm  29647  2sqmod  29648  archirng  29742  archirngz  29743  archiabllem1a  29745  madjusmdetlem4  29896  qqhval2lem  30025  oddpwdc  30416  eulerpartlems  30422  eulerpartlemb  30430  sseqfv1  30451  sseqfn  30452  sseqmw  30453  sseqf  30454  sseqfv2  30456  sseqp1  30457  ccatmulgnn0dir  30619  signsplypnf  30627  signsply0  30628  signslema  30639  signstfvn  30646  signstfvp  30648  signstfvc  30651  fsum2dsub  30685  reprinfz1  30700  reprfi2  30701  hashrepr  30703  reprdifc  30705  breprexplema  30708  breprexplemc  30710  circlemeth  30718  circlevma  30720  circlemethhgt  30721  hgt750lema  30735  tgoldbachgtde  30738  subfacval3  31171  bcprod  31624  bccolsum  31625  fwddifnp1  32272  knoppndvlem6  32508  knoppndvlem7  32509  knoppndvlem10  32512  knoppndvlem14  32516  knoppndvlem15  32517  knoppndvlem16  32518  knoppndvlem17  32519  knoppndvlem19  32521  knoppndvlem21  32523  dfgcd3  33170  poimirlem3  33412  poimirlem4  33413  poimirlem6  33415  poimirlem13  33422  poimirlem14  33423  poimirlem17  33426  poimirlem21  33430  poimirlem22  33431  poimirlem23  33432  poimirlem24  33433  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436  poimirlem31  33440  geomcau  33555  eldioph2lem1  37323  pellexlem5  37397  congrep  37540  jm2.18  37555  jm2.19lem1  37556  jm2.19lem2  37557  jm2.19  37560  jm2.22  37562  jm2.23  37563  jm2.20nn  37564  jm2.25  37566  jm2.26a  37567  jm2.26lem3  37568  jm2.26  37569  jm2.27a  37572  jm2.27b  37573  jm2.27c  37574  jm3.1  37587  expdiophlem1  37588  hbtlem5  37698  radcnvrat  38513  nzin  38517  bccbc  38544  binomcxplemnn0  38548  binomcxplemnotnn0  38555  fprodexp  39826  mccllem  39829  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  dvnxpaek  40157  dvnmul  40158  dvnprodlem1  40161  dvnprodlem2  40162  wallispilem1  40282  wallispilem5  40286  stirlinglem3  40293  stirlinglem5  40295  stirlinglem7  40297  stirlinglem8  40298  fourierdlem102  40425  fourierdlem114  40437  sqwvfoura  40445  elaa2lem  40450  etransclem10  40461  etransclem20  40471  etransclem21  40472  etransclem22  40473  etransclem23  40474  etransclem24  40475  etransclem27  40478  etransclem28  40479  etransclem35  40486  etransclem38  40489  etransclem44  40495  etransclem45  40496  etransclem46  40497  sge0ad2en  40648  fsummmodsnunz  41345  pfxtrcfv0  41402  pfxtrcfvl  41405  pfxccat1  41410  pfxccatin12  41425  pfxccatpfx2  41428  pfxccat3a  41429  fmtnoge3  41442  fmtnof1  41447  fmtnorec1  41449  sqrtpwpw2p  41450  fmtnodvds  41456  goldbachthlem2  41458  fmtnoprmfac2lem1  41478  pwm1geoserALT  41502  lighneallem3  41524  lighneallem4b  41526  lighneallem4  41527  ssnn0ssfz  42127  altgsumbcALT  42131  flnn0ohalf  42328  dig2nn1st  42399  0dig2nn0o  42407  aacllem  42547