Theorem grothprim 9656

Description: The Tarski-Grothendieck Axiom ax-groth 9645 expanded into set theory primitives using 163 symbols (allowing the defined symbols ∧, ∨, ↔, and ∃). An open problem is whether a shorter equivalent exists (when expanded to primitives). (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
grothprim	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,ℎ,𝑔

Proof of Theorem grothprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth4 9654	. 2 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
2		3anass 1042	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))))
3		dfss2 3591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧))
4		elin 3796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣) ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣))
5	3, 4	imbi12i 340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ↔ (∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))
6	5	albii 1747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ↔ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))
7	6	rexbii 3041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))
8		df-rex 2918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣))))
9	7, 8	bitri 264	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣))))
10	9	ralbii 2980	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣))))
11		df-ral 2917	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣))) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))))
12	10, 11	bitri 264	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))))
13		dfss2 3591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))
14		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ∈ V
15		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∖ 𝑧) ∈ V)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∖ 𝑧) ∈ V
17		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑧 ∈ V
18		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∖ 𝑧) ∩ 𝑧) = (𝑧 ∩ (𝑦 ∖ 𝑧))
19		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∩ (𝑦 ∖ 𝑧)) = ∅
20	18, 19	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∖ 𝑧) ∩ 𝑧) = ∅
21	16, 17, 20	brdom6disj 9354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ↔ ∃𝑤(∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤))
22	21	orbi1i 542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∃𝑤(∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))
23		19.44v 1912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑤((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∃𝑤(∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))
24	22, 23	bitr4i 267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑤((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))
25	13, 24	imbi12i 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → ∃𝑤((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
26		19.35 1805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → ((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → ∃𝑤((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
27	25, 26	bitr4i 267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → ((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
28		grothprimlem 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))))
29	28	mobii 2493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ↔ ∃*𝑢∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))))
30		mo2v 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃*𝑢∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) ↔ ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡))
31	29, 30	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ↔ ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡))
32	31	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡))
33		df-ral 2917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡) ↔ ∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)))
34	32, 33	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)))
35		df-ral 2917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑣(𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧) → ∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤))
36		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧) ↔ (𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑧))
37		grothprimlem 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤 ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))
38	37	rexbii 3041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑧 ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))
39		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝑧 ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣)))))
40	38, 39	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣)))))
41	36, 40	imbi12i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧) → ∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ↔ ((𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑧) → ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))
42		pm5.6 951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑧) → ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣)))))))
43	41, 42	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧) → ∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ↔ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣)))))))
44	43	albii 1747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑣(𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧) → ∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ↔ ∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣)))))))
45	35, 44	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣)))))))
46	34, 45	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ↔ (∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ ∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))))
47		19.26 1798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ↔ (∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ ∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))))
48	46, 47	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ↔ ∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))))
49	48	orbi1i 542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))
50	49	imbi2i 326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → ((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
51	50	exbii 1774	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → ((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
52	27, 51	bitri 264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
53	52	albii 1747	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑧∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
54	12, 53	anbi12i 733	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∀𝑧∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
55		19.26 1798	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧((𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∀𝑧∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
56	54, 55	bitr4i 267	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ∀𝑧((𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
57	56	anbi2i 730	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))))
58	2, 57	bitri 264	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))))
59	58	exbii 1774	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))))
60	1, 59	mpbi 220	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037  ∀wal 1481  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  ∃*wmo 2471  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {cpr 4179   class class class wbr 4653   ≼ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-groth 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990

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