Theorem grur1a 9641

Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)

Assertion

Ref	Expression
grur1a	⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem grur1a

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruina.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
2		inss1 3833	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ 𝑈
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑈
4		sseq2 3627	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ∅ → (𝐴 ⊆ 𝑈 ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
5	3, 4	mpbii 223	. . . 4 ⊢ (𝑈 = ∅ → 𝐴 ⊆ ∅)
6		ss0 3974	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
7		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘∅))
8		r10 8631	. . . . . 6 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
9	7, 8	syl6eq 2672	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
10		0ss 3972	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑈
11	9, 10	syl6eqss 3655	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)
12	5, 6, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑈 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈))
14	1	gruina 9640	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
15		inawina 9512	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)
16		winaon 9510	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → 𝐴 ∈ On)
17		winalim 9517	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)
18		r1lim 8635	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))
19	16, 17, 18	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))
20	14, 15, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))
21		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ On
22	1, 21	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ⊆ On
23	22	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ On)
24		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
25		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘∅))
26	25, 8	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑅1‘𝑥) = ∅)
27	26	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
28	24, 27	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)))
29		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘𝑦))
31	30	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
32	29, 31	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)))
33		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ 𝐴))
34		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
35	34	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
36	33, 35	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
37	3	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈))
39		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → suc 𝑦 ∈ 𝐴)
40		elelsuc 5797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → suc 𝑦 ∈ suc 𝐴)
41	3	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → suc 𝑦 ∈ 𝑈)
42		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑈 ≠ ∅)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑈 ≠ ∅)
44	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
45	43, 44	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
46		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
47		ordsucelsuc 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
48	45, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
49	40, 48	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
50	39, 49	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
51		grupw 9617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)
52	51	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ((𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
54		r1suc 8633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1‘𝑦))
55	54	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ On → ((𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈 ↔ 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
56	55	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
57	53, 56	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
58	50, 57	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
59	58	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
60	59	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
61	60	com4r 94	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
62		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
63	3	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑈)
64		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 ≠ ∅)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑈 ≠ ∅)
66	65, 44	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
67		ontr1 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
68		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
69	67, 68	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)))
70	69	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))))
71	70	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))))
72	62, 66, 71	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)))
73	72	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
74	73	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
75		gruiun 9621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)
76	75	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
77	63, 76	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
78	74, 77	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
79		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑥 ∈ V
80		r1lim 8635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦))
81	79, 80	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝑅1‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦))
82	81	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Lim 𝑥 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
83	82	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Lim 𝑥 → (∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
84	78, 83	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ (𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
85	84	exp32 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))))
86	85	com34 91	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))))
87	28, 32, 36, 38, 61, 86	tfinds2 7063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)))
88	87	com3r 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)))
89	23, 88	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
90	89	impcom 446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
91		gruelss 9616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
92	90, 91	syldan 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
93	92	ralrimiva 2966	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
94		iunss 4561	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
95	93, 94	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
96	95	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
97	20, 96	eqsstrd 3639	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)
98	97	ex 450	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ≠ ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈))
99	13, 98	pm2.61dne 2880	1 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  ∪ ciun 4520  Ord word 5722  Oncon0 5723  Lim wlim 5724  suc csuc 5725  ‘cfv 5888  𝑅₁cr1 8625  Inacc_wcwina 9504  Inacccina 9505  Univcgru 9612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-r1 8627  df-card 8765  df-cf 8767  df-ac 8939  df-wina 9506  df-ina 9507  df-gru 9613

This theorem is referenced by:  grur1  9642