Theorem grur1a 9641

Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	|- A = ( U i^i On )

Assertion

Ref	Expression
grur1a	|- ( U e. Univ -> ( R1 ` A ) C_ U )

Proof of Theorem grur1a

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruina.1	. . . . . 6 |- A = ( U i^i On )
2		inss1 3833	. . . . . 6 |- ( U i^i On ) C_ U
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . . 5 |- A C_ U
4		sseq2 3627	. . . . 5 |- ( U = (/) -> ( A C_ U <-> A C_ (/) ) )
5	3, 4	mpbii 223	. . . 4 |- ( U = (/) -> A C_ (/) )
6		ss0 3974	. . . 4 |- ( A C_ (/) -> A = (/) )
7		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( R1 ` A ) = ( R1 ` (/) ) )
8		r10 8631	. . . . . 6 |- ( R1 ` (/) ) = (/)
9	7, 8	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( R1 ` A ) = (/) )
10		0ss 3972	. . . . 5 |- (/) C_ U
11	9, 10	syl6eqss 3655	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( R1 ` A ) C_ U )
12	5, 6, 11	3syl 18	. . 3 |- ( U = (/) -> ( R1 ` A ) C_ U )
13	12	a1i 11	. 2 |- ( U e. Univ -> ( U = (/) -> ( R1 ` A ) C_ U ) )
14	1	gruina 9640	. . . . 5 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> A e. Inacc )
15		inawina 9512	. . . . 5 |- ( A e. Inacc -> A e. InaccW )
16		winaon 9510	. . . . . 6 |- ( A e. InaccW -> A e. On )
17		winalim 9517	. . . . . 6 |- ( A e. InaccW -> Lim A )
18		r1lim 8635	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ Lim A ) -> ( R1 ` A ) = U_ x e. A ( R1 ` x ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( A e. InaccW -> ( R1 ` A ) = U_ x e. A ( R1 ` x ) )
20	14, 15, 19	3syl 18	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> ( R1 ` A ) = U_ x e. A ( R1 ` x ) )
21		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U i^i On ) C_ On
22	1, 21	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . 11 |- A C_ On
23	22	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> x e. On )
24		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( x e. A <-> (/) e. A ) )
25		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = (/) -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` (/) ) )
26	25, 8	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( R1 ` x ) = (/) )
27	26	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( ( R1 ` x ) e. U <-> (/) e. U ) )
28	24, 27	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( ( x e. A -> ( R1 ` x ) e. U ) <-> ( (/) e. A -> (/) e. U ) ) )
29		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` y ) )
31	30	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( R1 ` x ) e. U <-> ( R1 ` y ) e. U ) )
32	29, 31	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x e. A -> ( R1 ` x ) e. U ) <-> ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) ) )
33		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc y -> ( x e. A <-> suc y e. A ) )
34		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc y -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` suc y ) )
35	34	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc y -> ( ( R1 ` x ) e. U <-> ( R1 ` suc y ) e. U ) )
36	33, 35	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( ( x e. A -> ( R1 ` x ) e. U ) <-> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) )
37	3	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. A -> (/) e. U )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. Univ -> ( (/) e. A -> (/) e. U ) )
39		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> suc y e. A )
40		elelsuc 5797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( suc y e. A -> suc y e. suc A )
41	3	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( suc y e. A -> suc y e. U )
42		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( suc y e. U -> U =/= (/) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( suc y e. A -> U =/= (/) )
44	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> A e. On )
45	43, 44	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> A e. On )
46		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. On -> Ord A )
47		ordsucelsuc 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord A -> ( y e. A <-> suc y e. suc A ) )
48	45, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> ( y e. A <-> suc y e. suc A ) )
49	40, 48	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> ( suc y e. A -> y e. A ) )
50	39, 49	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> y e. A )
51		grupw 9617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. Univ /\ ( R1 ` y ) e. U ) -> ~P ( R1 ` y ) e. U )
52	51	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. Univ -> ( ( R1 ` y ) e. U -> ~P ( R1 ` y ) e. U ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> ( ( R1 ` y ) e. U -> ~P ( R1 ` y ) e. U ) )
54		r1suc 8633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) = ~P ( R1 ` y ) )
55	54	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. On -> ( ( R1 ` suc y ) e. U <-> ~P ( R1 ` y ) e. U ) )
56	55	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ~P ( R1 ` y ) e. U -> ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) e. U ) )
57	53, 56	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> ( ( R1 ` y ) e. U -> ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) )
58	50, 57	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) )
59	58	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. Univ -> ( suc y e. A -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) ) )
60	59	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. Univ -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( suc y e. A -> ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) ) )
61	60	com4r 94	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On -> ( U e. Univ -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) ) )
62		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> x e. A )
63	3	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. A -> x e. U )
64		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. U -> U =/= (/) )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. A -> U =/= (/) )
66	65, 44	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> A e. On )
67		ontr1 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. On -> ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
68		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. A -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) )
69	67, 68	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. On -> ( ( y e. x /\ x e. A ) -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) ) )
70	69	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. On -> ( y e. x -> ( x e. A -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) ) ) )
71	70	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. A -> ( A e. On -> ( y e. x -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) ) ) )
72	62, 66, 71	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( y e. x -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) ) )
73	72	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( U e. Univ /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) )
74	73	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> A. y e. x ( R1 ` y ) e. U ) )
75		gruiun 9621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U /\ A. y e. x ( R1 ` y ) e. U ) -> U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U )
76	75	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( A. y e. x ( R1 ` y ) e. U -> U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U ) )
77	63, 76	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( R1 ` y ) e. U -> U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U ) )
78	74, 77	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U ) )
79		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x e. _V
80		r1lim 8635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> ( R1 ` x ) = U_ y e. x ( R1 ` y ) )
81	79, 80	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Lim x -> ( R1 ` x ) = U_ y e. x ( R1 ` y ) )
82	81	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Lim x -> ( ( R1 ` x ) e. U <-> U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U ) )
83	82	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Lim x -> ( U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U -> ( R1 ` x ) e. U ) )
84	78, 83	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Lim x /\ ( U e. Univ /\ x e. A ) ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` x ) e. U ) )
85	84	exp32 631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Lim x -> ( U e. Univ -> ( x e. A -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` x ) e. U ) ) ) )
86	85	com34 91	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim x -> ( U e. Univ -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( x e. A -> ( R1 ` x ) e. U ) ) ) )
87	28, 32, 36, 38, 61, 86	tfinds2 7063	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> ( U e. Univ -> ( x e. A -> ( R1 ` x ) e. U ) ) )
88	87	com3r 87	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( x e. On -> ( U e. Univ -> ( R1 ` x ) e. U ) ) )
89	23, 88	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( U e. Univ -> ( R1 ` x ) e. U ) )
90	89	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( R1 ` x ) e. U )
91		gruelss 9616	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. Univ /\ ( R1 ` x ) e. U ) -> ( R1 ` x ) C_ U )
92	90, 91	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( R1 ` x ) C_ U )
93	92	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( U e. Univ -> A. x e. A ( R1 ` x ) C_ U )
94		iunss 4561	. . . . . 6 |- ( U_ x e. A ( R1 ` x ) C_ U <-> A. x e. A ( R1 ` x ) C_ U )
95	93, 94	sylibr 224	. . . . 5 |- ( U e. Univ -> U_ x e. A ( R1 ` x ) C_ U )
96	95	adantr 481	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> U_ x e. A ( R1 ` x ) C_ U )
97	20, 96	eqsstrd 3639	. . 3 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> ( R1 ` A ) C_ U )
98	97	ex 450	. 2 |- ( U e. Univ -> ( U =/= (/) -> ( R1 ` A ) C_ U ) )
99	13, 98	pm2.61dne 2880	1 |- ( U e. Univ -> ( R1 ` A ) C_ U )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U_ciun 4520   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   ` cfv 5888   R1cr1 8625   InaccWcwina 9504   Inacccina 9505   Univcgru 9612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-r1 8627  df-card 8765  df-cf 8767  df-ac 8939  df-wina 9506  df-ina 9507  df-gru 9613

This theorem is referenced by:  grur1  9642