Theorem gruina 9640

Description: If a Grothendieck universe 𝑈 is nonempty, then the height of the ordinals in 𝑈 is a strongly inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)

Assertion

Ref	Expression
gruina	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)

Proof of Theorem gruina

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3931	. . . 4 ⊢ (𝑈 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
2		0ss 3972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
3		gruss 9618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∅ ⊆ 𝑥) → ∅ ∈ 𝑈)
4	2, 3	mp3an3 1413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ 𝑈)
5		0elon 5778	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ On
6		elin 3796	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ (∅ ∈ 𝑈 ∧ ∅ ∈ On))
7	4, 5, 6	sylanblrc 697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ (𝑈 ∩ On))
8		gruina.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
9	7, 8	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ 𝐴)
10		ne0i 3921	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ≠ ∅)
12	11	expcom 451	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
13	12	exlimiv 1858	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
14	1, 13	sylbi 207	. . 3 ⊢ (𝑈 ≠ ∅ → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
15	14	impcom 446	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
16		grutr 9615	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → Tr 𝑈)
17		tron 5746	. . . . . . . 8 ⊢ Tr On
18		trin 4763	. . . . . . . 8 ⊢ ((Tr 𝑈 ∧ Tr On) → Tr (𝑈 ∩ On))
19	16, 17, 18	sylancl 694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → Tr (𝑈 ∩ On))
20		inss2 3834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ On
21		epweon 6983	. . . . . . . 8 ⊢ E We On
22		wess 5101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∩ On) ⊆ On → ( E We On → E We (𝑈 ∩ On)))
23	20, 21, 22	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ E We (𝑈 ∩ On)
24		df-ord 5726	. . . . . . 7 ⊢ (Ord (𝑈 ∩ On) ↔ (Tr (𝑈 ∩ On) ∧ E We (𝑈 ∩ On)))
25	19, 23, 24	sylanblrc 697	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → Ord (𝑈 ∩ On))
26		inex1g 4801	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∩ On) ∈ V)
27		elon2 5734	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∩ On) ∈ On ↔ (Ord (𝑈 ∩ On) ∧ (𝑈 ∩ On) ∈ V))
28	25, 26, 27	sylanbrc 698	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∩ On) ∈ On)
29	8, 28	syl5eqel 2705	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ∈ On)
30	29	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
31		eloni 5733	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
32		ordirr 5741	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
34		elin 3796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ On))
35	34	biimpri 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ (𝑈 ∩ On))
36	35, 8	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ 𝐴)
37	36	expcom 451	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ 𝐴))
38	33, 37	mtod 189	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ 𝑈)
39	30, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ¬ 𝐴 ∈ 𝑈)
40		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ 𝑈
41	8, 40	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑈
42	41	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑈)
43		vpwex 4849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
44	43	canth2 8113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥
45	43	pwex 4848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
46	45	cardid 9369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≈ 𝒫 𝒫 𝑥
47	46	ensymi 8006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ≈ (card‘𝒫 𝒫 𝑥)
48	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ On)
49		grupw 9617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
50		grupw 9617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
51	49, 50	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
52	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ On)
53		endom 7982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≈ 𝒫 𝒫 𝑥 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)
54	46, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥
55		cardon 8770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On
56		grudomon 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On ∧ (𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
57	55, 56	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
58	54, 57	mpanr2 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
59		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On))
60	59	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ (𝑈 ∩ On))
61	60, 8	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴)
62	58, 55, 61	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴)
63		onelss 5766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴))
64	52, 62, 63	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴)
65	51, 64	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴)
66		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴))
67	48, 65, 66	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴)
68		endomtr 8014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝑥 ≈ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴)
69	47, 67, 68	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴)
70		sdomdomtr 8093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
71	44, 69, 70	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
72	42, 71	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
73	72	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
74		inawinalem 9511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
75	29, 73, 74	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
77		winainflem 9515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
78	15, 30, 76, 77	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ω ⊆ 𝐴)
79		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
80	79	canth2 8113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
81		sdomtr 8098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
82	80, 72, 81	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
83	82	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴)
84		iscard 8801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
85	29, 83, 84	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (card‘𝐴) = 𝐴)
86		cardlim 8798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴))
87		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ ω ⊆ 𝐴))
88		limeq 5735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (Lim (card‘𝐴) ↔ Lim 𝐴))
89	87, 88	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴)) ↔ (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
90	86, 89	mpbii 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
91	85, 90	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
92	91	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
93	78, 92	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → Lim 𝐴)
94		cflm 9072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (cf‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
95	30, 93, 94	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
96		cardon 8770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (card‘𝑦) ∈ On
97		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (card‘𝑦) → (𝑥 ∈ On ↔ (card‘𝑦) ∈ On))
98	96, 97	mpbiri 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (card‘𝑦) → 𝑥 ∈ On)
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → 𝑥 ∈ On)
100	99	exlimiv 1858	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → 𝑥 ∈ On)
101	100	abssi 3677	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ⊆ On
102		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ V
103	95, 102	syl6eqelr 2710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ V)
104		intex 4820	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ V)
105	103, 104	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ≠ ∅)
106		onint 6995	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ⊆ On ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
107	101, 105, 106	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
108	95, 107	eqeltrd 2701	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
109		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (cf‘𝐴) → (𝑥 = (card‘𝑦) ↔ (cf‘𝐴) = (card‘𝑦)))
110	109	anbi1d 741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (cf‘𝐴) → ((𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ↔ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))))
111	110	exbidv 1850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (cf‘𝐴) → (∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ↔ ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))))
112	102, 111	elab 3350	. . . . . 6 ⊢ ((cf‘𝐴) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ↔ ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)))
113	108, 112	sylib 208	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)))
114		simp2rr 1131	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝐴 = ∪ 𝑦)
115		simp1l 1085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ Univ)
116		simp2rl 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
117	116, 41	syl6ss 3615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝑈)
118	41	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → (cf‘𝐴) ∈ 𝑈)
119	118	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) ∈ 𝑈)
120		simp2l 1087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) = (card‘𝑦))
121		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
122	121	cardid 9369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (card‘𝑦) ≈ 𝑦
123	120, 122	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) ≈ 𝑦)
124		gruen 9634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑦 ⊆ 𝑈 ∧ ((cf‘𝐴) ∈ 𝑈 ∧ (cf‘𝐴) ≈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
125	115, 117, 119, 123, 124	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑈)
126		gruuni 9622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑈)
127	115, 125, 126	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑈)
128	114, 127	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑈)
129	128	3exp 1264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
130	129	exlimdv 1861	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
131	113, 130	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑈))
132	39, 131	mtod 189	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ¬ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴)
133		cfon 9077	. . . . 5 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ On
134		cfle 9076	. . . . . 6 ⊢ (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴
135		onsseleq 5765	. . . . . 6 ⊢ (((cf‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((cf‘𝐴) ⊆ 𝐴 ↔ ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴)))
136	134, 135	mpbii 223	. . . . 5 ⊢ (((cf‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴))
137	133, 136	mpan 706	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴))
138	137	ord 392	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (¬ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → (cf‘𝐴) = 𝐴))
139	30, 132, 138	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) = 𝐴)
140	73	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
141		elina 9509	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴))
142	15, 139, 140, 141	syl3anbrc 1246	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  {cab 2608   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  ∪ cuni 4436  ∩ cint 4475   class class class wbr 4653  Tr wtr 4752   E cep 5028   We wwe 5072  Ord word 5722  Oncon0 5723  Lim wlim 5724  ‘cfv 5888  ωcom 7065   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953   ≺ csdm 7954  cardccrd 8761  cfccf 8763  Inacccina 9505  Univcgru 9612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-card 8765  df-cf 8767  df-ac 8939  df-ina 9507  df-gru 9613

This theorem is referenced by:  grur1a  9641  grur1  9642  grutsk  9644