Theorem icoshftf1o 12295

Description: Shifting a closed-below, open-above interval is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
icoshftf1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↦ (𝑥 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
icoshftf1o	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐹:(𝐴[,)𝐵)–1-1-onto→((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icoshftf1o

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoshft 12294	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑥 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
2	1	ralrimiv 2965	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)(𝑥 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)))
3		readdcl 10019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
4	3	3adant2 1080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
5		readdcl 10019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
6	5	3adant1 1079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
7		renegcl 10344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐶 ∈ ℝ)
9		icoshft 12294	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) → (𝑦 + -𝐶) ∈ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶))))
10	4, 6, 8, 9	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) → (𝑦 + -𝐶) ∈ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶))))
11	10	imp 445	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝑦 + -𝐶) ∈ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶)))
12	6	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
13		icossre 12254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ)
14	4, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ)
15	14	sselda 3603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℝ)
16	15	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℂ)
17		simpl3 1066	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
18	17	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 10398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝑦 + -𝐶) = (𝑦 − 𝐶))
20	4	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
21		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
22	21	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	20, 22	negsubd 10398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶))
24		simp1 1061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25, 22	pncand 10393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐴)
27	23, 26	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) = 𝐴)
28	6	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
29	28, 22	negsubd 10398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶))
30		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	30	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
32	31, 22	pncand 10393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐵)
33	29, 32	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) = 𝐵)
34	27, 33	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶)) = (𝐴[,)𝐵))
35	34	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶)) = (𝐴[,)𝐵))
36	11, 19, 35	3eltr3d 2715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ (𝐴[,)𝐵))
37		reueq 3404	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 − 𝐶) ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑥 = (𝑦 − 𝐶))
38	36, 37	sylib 208	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑥 = (𝑦 − 𝐶))
39	15	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
40	39	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℂ)
41		simpll3 1102	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
42	41	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
43		simpl1 1064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐴 ∈ ℝ)
44		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
45	44	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
46		icossre 12254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
47	43, 45, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
48	47	sselda 3603	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
49	48	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	40, 42, 49	subadd2d 10411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑦 − 𝐶) = 𝑥 ↔ (𝑥 + 𝐶) = 𝑦))
51		eqcom 2629	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝐶) ↔ (𝑦 − 𝐶) = 𝑥)
52		eqcom 2629	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑥 + 𝐶) ↔ (𝑥 + 𝐶) = 𝑦)
53	50, 51, 52	3bitr4g 303	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 − 𝐶) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 𝐶)))
54	53	reubidva 3125	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑥 = (𝑦 − 𝐶) ↔ ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶)))
55	38, 54	mpbid 222	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶))
56	55	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶))
57		icoshftf1o.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↦ (𝑥 + 𝐶))
58	57	f1ompt 6382	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)–1-1-onto→((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)(𝑥 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶)))
59	2, 56, 58	sylanbrc 698	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐹:(𝐴[,)𝐵)–1-1-onto→((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃!wreu 2914   ⊆ wss 3574   ↦ cmpt 4729  –1-1-onto→wf1o 5887  (class class class)co 6650  ℝcr 9935   + caddc 9939  ℝ^*cxr 10073   − cmin 10266  -cneg 10267  [,)cico 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ico 12181

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