Theorem pncand 10393

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 10287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   + caddc 9939   − cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  mvlraddd  10444  mvrraddd  10445  addlsub  10447  pnpncand  10452  pncan1  10454  eluzmn  11694  icoshftf1o  12295  xov1plusxeqvd  12318  zesq  12987  brfi1indlem  13278  ccatval3  13363  fsumrev2  14514  binom1dif  14565  fprodp1  14699  risefacp1  14760  fallfacp1  14761  bpolydiflem  14785  sadcp1  15177  smupp1  15202  hashdvds  15480  pythagtriplem4  15524  pythagtriplem6  15526  pythagtriplem7  15527  pythagtriplem12  15531  pythagtriplem14  15533  pcqdiv  15562  mulgdirlem  17572  cayhamlem1  20671  blhalf  22210  pjthlem1  23208  ovolicopnf  23292  i1faddlem  23460  itg1addlem4  23466  ftc1lem4  23802  aaliou3lem8  24100  taylthlem2  24128  ulmshft  24144  efif1olem2  24289  efif1olem4  24291  quart1lem  24582  asinsin  24619  efiatan2  24644  logdiflbnd  24721  harmonicbnd4  24737  lgamgulmlem2  24756  lgamcvg2  24781  relgamcl  24788  ftalem1  24799  ftalem2  24800  bcctr  25000  pcbcctr  25001  bcp1ctr  25004  2sqblem  25156  mulog2sumlem1  25223  mulog2sumlem3  25225  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6  25272  colinearalglem4  25789  axpaschlem  25820  wwlksnred  26787  wwlksnredwwlkn  26790  wwlksnextproplem2  26805  clwlkclwwlklem2  26901  clwlkclwwlklem3  26902  clwwlksf  26915  wwlksext2clwwlk  26924  eucrct2eupth  27105  numclwwlk2lem1  27235  numclwlk2lem2f  27236  pjhthlem1  28250  psgnfzto1stlem  29850  madjusmdetlem2  29894  dya2icoseg  30339  iwrdsplit  30449  fibp1  30463  ballotlemfc0  30554  ballotlemfcc  30555  ballotlemsgt1  30572  ballotlemsel1i  30574  ballotlemsima  30577  ballotlem1ri  30596  signstfvn  30646  reprsuc  30693  bcprod  31624  bccolsum  31625  unblimceq0  32498  knoppndvlem6  32508  bj-bary1lem1  33161  sin2h  33399  itg2addnclem  33461  itg2addnclem3  33463  ftc1cnnclem  33483  areacirclem4  33503  ssbnd  33587  jm2.19lem4  37559  jm2.23  37563  jm3.1lem1  37584  itgpowd  37800  int-eqmvtd  38492  hashnzfzclim  38521  dvradcnv2  38546  binomcxplemnn0  38548  binomcxplemnotnn0  38555  nnsplit  39574  iccshift  39744  iooshift  39748  climinf  39838  limcperiod  39860  0ellimcdiv  39881  cncfshift  40087  cncfperiod  40092  dvdsn1add  40154  dvnmul  40158  dvnprodlem1  40161  itgiccshift  40196  itgperiod  40197  stoweidlem17  40234  wallispilem4  40285  wallispilem5  40286  stirlinglem1  40291  stirlinglem5  40295  stirlinglem6  40296  stirlinglem10  40300  dirkertrigeqlem2  40316  fourierdlem14  40338  fourierdlem19  40343  fourierdlem41  40365  fourierdlem42  40366  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem50  40373  fourierdlem64  40387  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem81  40404  fourierdlem92  40415  fourierdlem97  40420  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem107  40430  etransclem9  40460  nnfoctbdjlem  40672  fldivmod  42313  mvlladdd  42513  mvrladdd  42515