Theorem negsubd 10398

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 10329	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   + caddc 9939   − cmin 10266  -cneg 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  mulsub  10473  divsubdir  10721  divsubdiv  10741  ofnegsub  11018  icoshftf1o  12295  fzosubel  12526  modsub12d  12727  expaddzlem  12903  binom2sub  12981  discr  13001  cjreb  13863  recj  13864  remullem  13868  imcj  13872  sqreulem  14099  subcn2  14325  lo1sub  14361  iseraltlem2  14413  iseraltlem3  14414  fsumshftm  14513  fsumsub  14520  incexclem  14568  incexc  14569  bpoly3  14789  efmival  14883  cosadd  14895  sinsub  14898  sincossq  14906  moddvds  14991  dvdsadd2b  15028  bitsres  15195  pythagtriplem4  15524  mulgdirlem  17572  mulgmodid  17581  mulgsubdir  17582  cnsubrg  19806  zringlpirlem3  19834  cphipval  23042  pjthlem1  23208  mbfsub  23429  mbfmulc2  23430  itg2monolem1  23517  itgcnlem  23556  iblsub  23588  itgsub  23592  itgmulc2  23600  dvmptsub  23730  dvmptdiv  23737  dvexp3  23741  dvsincos  23744  dvlipcn  23757  ftc2  23807  aaliou3lem6  24103  logdiv2  24363  tanarg  24365  advlogexp  24401  cxpsub  24428  abscxpbnd  24494  relogbdiv  24517  isosctrlem2  24549  angpieqvdlem  24555  quad2  24566  dcubic1lem  24570  dcubic2  24571  dcubic  24573  mcubic  24574  dquartlem2  24579  dquart  24580  quart1lem  24582  quartlem1  24584  quart  24588  asinlem2  24596  cosasin  24631  atanlogsublem  24642  atantan  24650  atantayl2  24665  ftalem5  24803  basellem9  24815  lgseisenlem1  25100  2sqlem4  25146  rpvmasum2  25201  log2sumbnd  25233  chpdifbndlem1  25242  pntpbnd1  25275  axsegconlem9  25805  axeuclidlem  25842  smcnlem  27552  ipval2  27562  ipasslem2  27687  dipsubdir  27703  his2sub  27949  pjhthlem1  28250  circlemeth  30718  logdivsqrle  30728  fwddifnp1  32272  knoppndvlem2  32504  itg2gt0cn  33465  iblsubnc  33471  itgsubnc  33472  itgmulc2nc  33478  ftc1anclem8  33492  ftc2nc  33494  areacirclem1  33500  mzpsubmpt  37306  pellexlem6  37398  pell1234qrreccl  37418  pellfund14  37462  rmxyneg  37485  rmxm1  37499  rmym1  37500  congsub  37537  jm2.19lem1  37556  jm2.19lem4  37559  jm2.19  37560  jm2.26lem3  37568  sineq0ALT  39173  sub2times  39485  fzisoeu  39514  supsubc  39569  sublimc  39884  reclimc  39885  itgsincmulx  40190  itgsbtaddcnst  40198  stoweidlem10  40227  stoweidlem13  40230  stoweidlem22  40239  stoweidlem23  40240  stoweidlem26  40243  stoweidlem42  40259  stoweidlem47  40264  stirlinglem5  40295  dirkertrigeqlem2  40316  fourierdlem26  40350  fourierdlem36  40360  fourierdlem40  40364  fourierdlem41  40365  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem64  40387  fourierdlem78  40401  fourierdlem92  40415  fourierdlem97  40420  fourierdlem101  40424  fourierdlem107  40430  etransclem17  40468  etransclem46  40497  sigarperm  41049  dignn0flhalflem1  42409