Theorem iscauf 23078

Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " presupposing 𝐹 is a function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscau3.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iscau3.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
iscau3.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iscau4.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
iscau4.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = 𝐵)
iscauf.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)

Assertion

Ref	Expression
iscauf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem iscauf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscau3.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		elfvdm 6220	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4		cnex 10017	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
5	3, 4	jctir 561	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
6		iscauf.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
7		iscau3.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8		uzssz 11707	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
9		zsscn 11385	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
10	8, 9	sstri 3612	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
11	7, 10	eqsstri 3635	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
12	6, 11	jctir 561	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ))
13		elpm2r 7875	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
14	5, 12, 13	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
15	14	biantrurd 529	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))))
16	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17		iscau4.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = 𝐵)
18	17	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑗) = 𝐵)
19	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
20		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
21	19, 20	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
22	18, 21	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐵 ∈ 𝑋)
23	7	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
24		iscau4.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
25	23, 24	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
26		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
27	6, 23, 26	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
28	25, 27	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
29		xmetsym 22152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
30	16, 22, 28, 29	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
31	30	breq1d 4663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))
32		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑍⟶𝑋 → dom 𝐹 = 𝑍)
33	32	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑍⟶𝑋 → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑘 ∈ 𝑍))
34	33	biimpar 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
35	6, 23, 34	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
36	35, 28	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
37	36	biantrurd 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐴𝐷𝐵) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
38		df-3an 1039	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))
39	37, 38	syl6bbr 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐴𝐷𝐵) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
40	31, 39	bitrd 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
41	40	anassrs 680	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
42	41	ralbidva 2985	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
43	42	rexbidva 3049	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
44	43	ralbidv 2986	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
45		iscau3.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
46	7, 1, 45, 24, 17	iscau4 23077	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))))
47	15, 44, 46	3bitr4rd 301	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_pm cpm 7858  ℂcc 9934   < clt 10074  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℝ⁺crp 11832  ∞Metcxmt 19731  Caucca 23051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-cau 23054

This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  23089  causs  23096  caubl  23106  minvecolem3  27732  h2hcau  27836  geomcau  33555  caushft  33557  rrncmslem  33631