Theorem iscauf 23078

Description: Express the property " F is a Cauchy sequence of metric D " presupposing F is a function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscau3.2	|- Z = ( ZZ>= ` M )
iscau3.3	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
iscau3.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
iscau4.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
iscau4.6	|- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) = B )
iscauf.7	|- ( ph -> F : Z --> X )

Assertion

Ref	Expression
iscauf	|- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B D A ) < x ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, D   j, F, k, x   ph, j, k, x   j, X, k, x   j, M   j, Z, k, x

Allowed substitution hints:   A( x, j, k)   B( x, j, k)   M( x, k)

Proof of Theorem iscauf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscau3.3	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
2		elfvdm 6220	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> X e. dom *Met )
4		cnex 10017	. . . . 5 |- CC e. _V
5	3, 4	jctir 561	. . . 4 |- ( ph -> ( X e. dom *Met /\ CC e. _V ) )
6		iscauf.7	. . . . 5 |- ( ph -> F : Z --> X )
7		iscau3.2	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
8		uzssz 11707	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
9		zsscn 11385	. . . . . . 7 |- ZZ C_ CC
10	8, 9	sstri 3612	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ CC
11	7, 10	eqsstri 3635	. . . . 5 |- Z C_ CC
12	6, 11	jctir 561	. . . 4 |- ( ph -> ( F : Z --> X /\ Z C_ CC ) )
13		elpm2r 7875	. . . 4 |- ( ( ( X e. dom *Met /\ CC e. _V ) /\ ( F : Z --> X /\ Z C_ CC ) ) -> F e. ( X ^pm CC ) )
14	5, 12, 13	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
15	14	biantrurd 529	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) ) )
16	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
17		iscau4.6	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) = B )
18	17	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` j ) = B )
19	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> F : Z --> X )
20		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> j e. Z )
21	19, 20	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` j ) e. X )
22	18, 21	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> B e. X )
23	7	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
24		iscau4.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
25	23, 24	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` k ) = A )
26		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : Z --> X /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. X )
27	6, 23, 26	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` k ) e. X )
28	25, 27	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> A e. X )
29		xmetsym 22152	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. X /\ A e. X ) -> ( B D A ) = ( A D B ) )
30	16, 22, 28, 29	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( B D A ) = ( A D B ) )
31	30	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( B D A ) < x <-> ( A D B ) < x ) )
32		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : Z --> X -> dom F = Z )
33	32	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : Z --> X -> ( k e. dom F <-> k e. Z ) )
34	33	biimpar 502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : Z --> X /\ k e. Z ) -> k e. dom F )
35	6, 23, 34	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> k e. dom F )
36	35, 28	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( k e. dom F /\ A e. X ) )
37	36	biantrurd 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( A D B ) < x <-> ( ( k e. dom F /\ A e. X ) /\ ( A D B ) < x ) ) )
38		df-3an 1039	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) <-> ( ( k e. dom F /\ A e. X ) /\ ( A D B ) < x ) )
39	37, 38	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( A D B ) < x <-> ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) )
40	31, 39	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( B D A ) < x <-> ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) )
41	40	anassrs 680	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( B D A ) < x <-> ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) )
42	41	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B D A ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) )
43	42	rexbidva 3049	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B D A ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) )
44	43	ralbidv 2986	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B D A ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) )
45		iscau3.4	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
46	7, 1, 45, 24, 17	iscau4 23077	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ A e. X /\ ( A D B ) < x ) ) ) )
47	15, 44, 46	3bitr4rd 301	1 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B D A ) < x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   < clt 10074   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   Caucca 23051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-cau 23054

This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  23089  causs  23096  caubl  23106  minvecolem3  27732  h2hcau  27836  geomcau  33555  caushft  33557  rrncmslem  33631