Theorem caushft 33557

Description: A shifted Cauchy sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caures.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caures.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
caures.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
caushft.4	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
caushft.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
caushft.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
caushft.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
caushft.9	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑊⟶𝑋)

Assertion

Ref	Expression
caushft	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem caushft

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caushft.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
2		caures.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		caures.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4		metxmet 22139	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		caures.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		caushft.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
8	7	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
9		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
10		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 + 𝑁) = (𝑗 + 𝑁))
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
12	9, 11	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ↔ (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
13	12	rspccva 3308	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
14	8, 13	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
15	2, 5, 6, 7, 14	iscau4 23077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))))
16	1, 15	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)))
17	16	simprd 479	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
18	2	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
19	18	biimpi 206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		caushft.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
21		eluzadd 11716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
22	19, 20, 21	syl2anr 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
23		caushft.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
24	22, 23	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊)
25		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
26	25, 2	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
27		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ ℤ)
29	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁)))
31		eluzsub 11717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝑚 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝑚 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
33		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)
34	33	ralimi 2952	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)
35		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 𝑁) → (𝑘 + 𝑁) = ((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 𝑁) → (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) = (𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁)))
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 𝑁) → ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
38	37	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 𝑁) → (((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
39	38	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
40	32, 34, 39	syl2im 40	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
41		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁)) → 𝑚 ∈ ℤ)
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℤ)
43	42	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℂ)
44	20	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
45	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
46	43, 45	npcand 10396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝑚 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑚)
47	46	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁)) = (𝐺‘𝑚))
48	47	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
49	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
50		caushft.9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑊⟶𝑋)
51	50	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝐺:𝑊⟶𝑋)
52	23	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ 𝑊)
53	24, 52	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ 𝑊)
54	51, 53	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘𝑚) ∈ 𝑋)
55	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐺:𝑊⟶𝑋)
56	55, 24	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
58		metsym 22155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺‘𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
59	49, 54, 57, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
60	48, 59	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
61	60	breq1d 4663	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (((𝐺‘((𝑚 − 𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
62	40, 61	sylibd 229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
63	62	ralrimdva 2969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
64		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁)))
65		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → ((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)))
67	66	breq1d 4663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
68	64, 67	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
69	68	rspcev 3309	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥)
70	24, 63, 69	syl6an 568	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
71	70	rexlimdva 3031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
72	71	ralimdv 2963	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
73	17, 72	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥)
74	6, 20	zaddcld 11486	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
75		eqidd 2623	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝐺‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
76		eqidd 2623	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
77	23, 5, 74, 75, 76, 50	iscauf 23078	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛)𝐷(𝐺‘𝑚)) < 𝑥))
78	73, 77	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_pm cpm 7858  ℂcc 9934   + caddc 9939   < clt 10074   − cmin 10266  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℝ⁺crp 11832  ∞Metcxmt 19731  Metcme 19732  Caucca 23051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-cau 23054

This theorem is referenced by: (None)