Theorem iunconnlem 21230

Description: Lemma for iunconn 21231. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunconn.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
iunconn.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B C_ X )
iunconn.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. B )
iunconn.5	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( J ↾t B ) e. Conn )
iunconn.6	|- ( ph -> U e. J )
iunconn.7	|- ( ph -> V e. J )
iunconn.8	|- ( ph -> ( V i^i U_ k e. A B ) =/= (/) )
iunconn.9	|- ( ph -> ( U i^i V ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
iunconn.10	|- ( ph -> U_ k e. A B C_ ( U u. V ) )
iunconn.11	|- F/ k ph

Assertion

Ref	Expression
iunconnlem	|- ( ph -> -. P e. U )

Distinct variable groups:   A, k   k, J   P, k   k, X   U, k   k, V

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem iunconnlem

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunconn.8	. . 3 |- ( ph -> ( V i^i U_ k e. A B ) =/= (/) )
2		n0 3931	. . 3 |- ( ( V i^i U_ k e. A B ) =/= (/) <-> E. x x e. ( V i^i U_ k e. A B ) )
3	1, 2	sylib 208	. 2 |- ( ph -> E. x x e. ( V i^i U_ k e. A B ) )
4		elin 3796	. . . 4 |- ( x e. ( V i^i U_ k e. A B ) <-> ( x e. V /\ x e. U_ k e. A B ) )
5		eliun 4524	. . . . . 6 |- ( x e. U_ k e. A B <-> E. k e. A x e. B )
6		iunconn.11	. . . . . . . 8 |- F/ k ph
7		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ k x e. V
8	6, 7	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ k ( ph /\ x e. V )
9		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ k -. P e. U
10		iunconn.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( J ↾t B ) e. Conn )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( x e. V /\ x e. B ) ) -> ( J ↾t B ) e. Conn )
12		iunconn.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14		iunconn.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B C_ X )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> B C_ X )
16		iunconn.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. J )
17	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> U e. J )
18		iunconn.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> V e. J )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> V e. J )
20		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> P e. U )
21		iunconn.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. B )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> P e. B )
23		inelcm 4032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. U /\ P e. B ) -> ( U i^i B ) =/= (/) )
24	20, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> ( U i^i B ) =/= (/) )
25		inelcm 4032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. V /\ x e. B ) -> ( V i^i B ) =/= (/) )
26	25	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> ( V i^i B ) =/= (/) )
27		iunconn.9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( U i^i V ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
28	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> ( U i^i V ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
29		ssiun2 4563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. A -> B C_ U_ k e. A B )
30	29	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> B C_ U_ k e. A B )
31	30	sscond 3747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> ( X \ U_ k e. A B ) C_ ( X \ B ) )
32	28, 31	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> ( U i^i V ) C_ ( X \ B ) )
33		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U i^i V ) C_ U
34		toponss 20731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ U e. J ) -> U C_ X )
35	13, 17, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> U C_ X )
36	33, 35	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> ( U i^i V ) C_ X )
37		reldisj 4020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U i^i V ) C_ X -> ( ( ( U i^i V ) i^i B ) = (/) <-> ( U i^i V ) C_ ( X \ B ) ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> ( ( ( U i^i V ) i^i B ) = (/) <-> ( U i^i V ) C_ ( X \ B ) ) )
39	32, 38	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> ( ( U i^i V ) i^i B ) = (/) )
40		iunconn.10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U_ k e. A B C_ ( U u. V ) )
41	40	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> U_ k e. A B C_ ( U u. V ) )
42	30, 41	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> B C_ ( U u. V ) )
43	13, 15, 17, 19, 24, 26, 39, 42	nconnsubb 21226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( ( x e. V /\ x e. B ) /\ P e. U ) ) -> -. ( J ↾t B ) e. Conn )
44	43	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( x e. V /\ x e. B ) ) -> ( P e. U -> -. ( J ↾t B ) e. Conn ) )
45	11, 44	mt2d 131	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ ( x e. V /\ x e. B ) ) -> -. P e. U )
46	45	an4s 869	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. V ) /\ ( k e. A /\ x e. B ) ) -> -. P e. U )
47	46	exp32 631	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( k e. A -> ( x e. B -> -. P e. U ) ) )
48	8, 9, 47	rexlimd 3026	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( E. k e. A x e. B -> -. P e. U ) )
49	5, 48	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( x e. U_ k e. A B -> -. P e. U ) )
50	49	expimpd 629	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. V /\ x e. U_ k e. A B ) -> -. P e. U ) )
51	4, 50	syl5bi 232	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( V i^i U_ k e. A B ) -> -. P e. U ) )
52	51	exlimdv 1861	. 2 |- ( ph -> ( E. x x e. ( V i^i U_ k e. A B ) -> -. P e. U ) )
53	3, 52	mpd 15	1 |- ( ph -> -. P e. U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081  TopOnctopon 20715  Conncconn 21214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-conn 21215

This theorem is referenced by:  iunconn  21231  iunconnlem2  39171