Theorem lmat22e22 29887

Description: Entry of a 2x2 literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmat22e22	⊢ (𝜑 → (2𝑀2) = 𝐷)

Proof of Theorem lmat22e22

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmat22.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
2		2nn 11185	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4		lmat22.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		lmat22.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	4, 5	s2cld 13616	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		lmat22.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
8		lmat22.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
9	7, 8	s2cld 13616	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
10	6, 9	s2cld 13616	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
11		s2len 13634	. . 3 ⊢ (#‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
13	1, 4, 5, 7, 8	lmat22lem 29883	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (#‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
14		1nn0 11308	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15	2	nnrei 11029	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	leidi 10562	. 2 ⊢ 2 ≤ 2
17		1p1e2 11134	. 2 ⊢ (1 + 1) = 2
18		s2cli 13625	. . 3 ⊢ ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V
19		s2fv1 13633	. . 3 ⊢ (⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩
21		s2fv1 13633	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐶𝐷”⟩‘1) = 𝐷)
22	8, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐶𝐷”⟩‘1) = 𝐷)
23	1, 3, 10, 12, 13, 14, 14, 16, 16, 17, 17, 20, 22	lmatfvlem 29881	1 ⊢ (𝜑 → (2𝑀2) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1c1 9937  ℕcn 11020  2c2 11070  #chash 13117  Word cword 13291  ⟨“cs2 13586  litMatclmat 29877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-lmat 29878

This theorem is referenced by:  lmat22det  29888