Theorem lsmelvalm 18066

Description: Subgroup sum membership analogue of lsmelval 18064 using vector subtraction. TODO: any way to shorten proof? (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmelvalm.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
lsmelvalm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmelvalm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmelvalm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
lsmelvalm	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧, −   𝑦,𝐺,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelvalm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmelvalm.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmelvalm.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		lsmelvalm.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5	3, 4	lsmelval 18064	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
6	1, 2, 5	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
7	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9	8	subginvcl 17603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
10	7, 9	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
11		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
12		lsmelvalm.m	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (-g‘𝐺)
13		subgrcl 17599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Grp)
16	11	subgss 17595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
18	17	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
20	11	subgss 17595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
21	7, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
22	21	sselda 3603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
23	11, 3, 12, 8, 15, 19, 22	grpsubinv 17488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
24	23	eqcomd 2628	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
25		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
26	25	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → ((𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥))))
27	26	rspcev 3309	. . . . . . 7 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧))
28	10, 24, 27	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧))
29		eqeq1 2626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧)))
30	29	rexbidv 3052	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧)))
31	28, 30	syl5ibrcom 237	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
32	31	rexlimdva 3031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
33	8	subginvcl 17603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
34	7, 33	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
35	18	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
36	21	sselda 3603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
37	11, 3, 8, 12	grpsubval 17465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧)))
38	35, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧)))
39		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧)))
40	39	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → ((𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧))))
41	40	rspcev 3309	. . . . . . 7 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
42	34, 38, 41	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
43		eqeq1 2626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
44	43	rexbidv 3052	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
45	42, 44	syl5ibrcom 237	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
46	45	rexlimdva 3031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
47	32, 46	impbid 202	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
48	47	rexbidva 3049	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
49	6, 48	bitrd 268	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  Grpcgrp 17422  inv_gcminusg 17423  -_gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588  LSSumclsm 18049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-lsm 18051

This theorem is referenced by:  lsmelvalmi  18067  pgpfac1lem2  18474  pgpfac1lem3  18476  pgpfac1lem4  18477  mapdpglem3  36964