Theorem mulgsubdi 18235

Description: Group multiple of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgsubdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgsubdi.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgsubdi.d	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgsubdi	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
2		simpr1 1067	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr2 1068	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		ablgrp 18198	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
6		simpr3 1069	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		mulgsubdi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9	7, 8	grpinvcl 17467	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	5, 6, 9	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11		mulgsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
12		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13	7, 11, 12	mulgdi 18232	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))))
14	1, 2, 3, 10, 13	syl13anc 1328	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))))
15	7, 11, 8	mulgneg2 17575	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑌) = (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
16	7, 11, 8	mulgneg 17560	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
17	15, 16	eqtr3d 2658	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
18	5, 2, 6, 17	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
19	18	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑀 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
20	14, 19	eqtrd 2656	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
21		mulgsubdi.d	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
22	7, 12, 8, 21	grpsubval 17465	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
23	3, 6, 22	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
24	23	oveq2d 6666	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 − 𝑌)) = (𝑀 · (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))))
25	7, 11	mulgcl 17559	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
26	5, 2, 3, 25	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
27	7, 11	mulgcl 17559	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
28	5, 2, 6, 27	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
29	7, 12, 8, 21	grpsubval 17465	. . 3 ⊢ (((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
30	26, 28, 29	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
31	20, 24, 30	3eqtr4d 2666	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑀 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  -cneg 10267  ℤcz 11377  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  Grpcgrp 17422  inv_gcminusg 17423  -_gcsg 17424  ._gcmg 17540  Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-cmn 18195  df-abl 18196

This theorem is referenced by: (None)