Theorem ngpocelbl 22508

Description: Membership of an off-center vector in a ball in a normed module. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by AV, 14-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpocelbl.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
ngpocelbl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpocelbl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ngpocelbl.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ngpocelbl	⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁‘𝐴) < 𝑅))

Proof of Theorem ngpocelbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmngp 22481	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2		ngpocelbl.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		ngpocelbl.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4	2, 3	ngpmet 22407	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5		metxmet 22139	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6	1, 4, 5	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	6	anim1i 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
8	7	3adant3 1081	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
9		simp3l 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
10		ngpgrp 22403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Grp)
12	11	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
13		simp3 1063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
14		3anass 1042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)))
15	12, 13, 14	sylanbrc 698	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
16		ngpocelbl.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
17	2, 16	grpcl 17430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
19	9, 18	jca 554	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋))
20	8, 19	jca 554	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)))
21		elbl2 22195	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
23	3	oveqi 6663	. . . . . 6 ⊢ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴))
24		ovres 6800	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
25	23, 24	syl5eq 2668	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
26	19, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
27	1	3ad2ant1 1082	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
28		ngpocelbl.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
29		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
30		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
31	28, 2, 29, 30	ngpdsr 22409	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃)))
32	27, 9, 18, 31	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃)))
33		nlmlmod 22482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ LMod)
34		lmodabl 18910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ LMod → 𝐺 ∈ Abel)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Abel)
36	35	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
37		3anass 1042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)))
38	36, 13, 37	sylanbrc 698	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
39	2, 16, 29	ablpncan2 18221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃) = 𝐴)
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃) = 𝐴)
41	40	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃)) = (𝑁‘𝐴))
42	26, 32, 41	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
43	42	breq1d 4663	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑁‘𝐴) < 𝑅))
44	22, 43	bitrd 268	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁‘𝐴) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653   × cxp 5112   ↾ cres 5116  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  distcds 15950  Grpcgrp 17422  -_gcsg 17424  Abelcabl 18194  LModclmod 18863  ∞Metcxmt 19731  Metcme 19732  ballcbl 19733  normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  NrmModcnlm 22385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391

This theorem is referenced by: (None)