Theorem ocvz 20022

Description: The orthocomplement of the zero subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvz.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvz.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvz	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Proof of Theorem ocvz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmod 19975	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2		ocvz.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	2, 3	lsp0 19009	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
6	5	fveq2d 6195	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = ( ⊥ ‘{ 0 }))
7		0ss 3972	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑉
8		ocvz.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		ocvz.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
10	8, 9, 3	ocvlsp 20020	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ∅ ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = ( ⊥ ‘∅))
11	7, 10	mpan2 707	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = ( ⊥ ‘∅))
12	8, 9	ocv0 20021	. . 3 ⊢ ( ⊥ ‘∅) = 𝑉
13	11, 12	syl6eq 2672	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = 𝑉)
14	6, 13	eqtr3d 2658	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  0_gc0g 16100  LModclmod 18863  LSpanclspn 18971  PreHilcphl 19969  ocvcocv 20004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-rnghom 18715  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-phl 19971  df-ocv 20007

This theorem is referenced by:  obs2ocv  20071