Theorem odeq 17969

Description: The oddvds 17966 property uniquely defines the group order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odeq	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝑦, 0   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁   𝑦,𝑂   𝑦, ·   𝑦,𝐺   𝑦,𝑋

Proof of Theorem odeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 11400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
2		odcl.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odcl.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odid.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		odid.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	oddvds 17966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
7	1, 6	syl3an3 1361	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
8	7	3expa 1265	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
9	8	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
10		breq1 4656	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦))
11	10	bibi1d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
12	11	ralbidv 2986	. . . 4 ⊢ (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
13	9, 12	syl5ibrcom 237	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
14	13	3adant3 1081	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
15		simpl3 1066	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		simpl2 1065	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝐴 ∈ 𝑋)
17	2, 3	odcl 17955	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
19	2, 3, 4, 5	odid 17957	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
20	16, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
21	17	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
22		breq2 4657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ 𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴)))
23		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
24	23	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
25	22, 24	bibi12d 335	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )))
26	25	rspcva 3307	. . . . . 6 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
27	21, 26	sylan 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
28	20, 27	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴))
29		nn0z 11400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
30		iddvds 14995	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
31	15, 29, 30	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∥ 𝑁)
32		breq2 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
33		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
34	33	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
35	32, 34	bibi12d 335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
36	35	rspcva 3307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
37	36	3ad2antl3 1225	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
38	31, 37	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
39	2, 3, 4, 5	oddvds 17966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
40	29, 39	syl3an3 1361	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
41	40	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
42	38, 41	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁)
43		dvdseq 15036	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁)) → 𝑁 = (𝑂‘𝐴))
44	15, 18, 28, 42, 43	syl22anc 1327	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 = (𝑂‘𝐴))
45	44	ex 450	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) → 𝑁 = (𝑂‘𝐴)))
46	14, 45	impbid 202	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377   ∥ cdvds 14983  Basecbs 15857  0_gc0g 16100  Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540  odcod 17944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-od 17948

This theorem is referenced by:  odval2  17970  proot1ex  37779