Theorem proot1ex 37779

Description: The complex field has primitive 𝑁-th roots of unity for all 𝑁. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
proot1ex.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
proot1ex.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
proot1ex	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))

Proof of Theorem proot1ex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 11124	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		2rp 11837	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		nnrp 11842	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4		rpdivcl 11856	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℝ+)
6	5	rpcnd 11874	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
7		cxpcl 24420	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	sylancr 695	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
9	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
10		neg1ne0 11126	. . . . 5 ⊢ -1 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ≠ 0)
12	9, 11, 6	cxpne0d 24459	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
13		eldifsn 4317	. . 3 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0))
14	8, 12, 13	sylanbrc 698	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
15	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℂ)
16	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → -1 ≠ 0)
17		nn0cn 11302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
18		mulcl 10020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
19	6, 17, 18	syl2an 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
20	15, 16, 19	cxpefd 24458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))))
21	20	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1 ↔ (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1))
22		logcl 24315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (log‘-1) ∈ ℂ)
23	1, 10, 22	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘-1) ∈ ℂ
24		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘-1) ∈ ℂ) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ)
25	19, 23, 24	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ)
26		efeq1 24275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ → ((exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1 ↔ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1 ↔ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
28		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
30		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
32	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≠ 0)
35	29, 31, 32, 34	div13d 10825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) = ((𝑥 / 𝑁) · 2))
36		logm1 24335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘-1) = (i · π)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (log‘-1) = (i · π))
38	35, 37	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) = (((𝑥 / 𝑁) · 2) · (i · π)))
39	32, 31, 34	divcld 10801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 / 𝑁) ∈ ℂ)
40		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ∈ ℂ
41		picn 24211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
42	40, 41	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · π) ∈ ℂ)
44	39, 29, 43	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑥 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝑥 / 𝑁) · (2 · (i · π))))
45	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → i ∈ ℂ)
46	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → π ∈ ℂ)
47	29, 45, 46	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 · (i · π)) = (i · (2 · π)))
48	47	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 / 𝑁) · (2 · (i · π))) = ((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))))
49	38, 44, 48	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) = ((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))))
50	49	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) = (((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))) / (i · (2 · π))))
51	28, 41	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
52	40, 51	mulcli 10045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
54		ine0 10465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ≠ 0
55		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
56		pire 24210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℝ
57		pipos 24212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
58	56, 57	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ≠ 0
59	28, 41, 55, 58	mulne0i 10670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ≠ 0
60	40, 51, 54, 59	mulne0i 10670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ≠ 0
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · (2 · π)) ≠ 0)
62	39, 53, 61	divcan4d 10807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))) / (i · (2 · π))) = (𝑥 / 𝑁))
63	50, 62	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) = (𝑥 / 𝑁))
64	63	eleq1d 2686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
65	21, 27, 64	3bitrd 294	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
66	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
67		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
68	15, 66, 67	cxpmul2d 24455	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
69		cnfldexp 19779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
70	8, 69	sylan 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
71		cnring 19768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
72		cnfldbas 19750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
73		cnfld0 19770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
74		cndrng 19775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
75	72, 73, 74	drngui 18753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
76		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
77	75, 76	unitsubm 18670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
78	71, 77	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
79	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
80		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
81		proot1ex.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
82		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
83	80, 81, 82	submmulg 17586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
84	78, 67, 79, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
85	68, 70, 84	3eqtr2rd 2663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)))
86	85	eqeq1d 2624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1 ↔ (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1))
87		nnz 11399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
88	87	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
89		nn0z 11400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
90	89	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
91		dvdsval2 14986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
92	88, 34, 90, 91	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
93	65, 86, 92	3bitr4rd 301	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1))
94	93	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1))
95	75, 81	unitgrp 18667	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
96	71, 95	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Grp)
97		nnnn0 11299	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
98	75, 81	unitgrpbas 18666	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝐺)
99		proot1ex.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
100		cnfld1 19771	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
101	75, 81, 100	unitgrpid 18669	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 1 = (0g‘𝐺))
102	71, 101	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
103	98, 99, 82, 102	odeq 17969	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)))
104	96, 14, 97, 103	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)))
105	94, 104	mpbird 247	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
106	105	eqcomd 2628	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)
107	98, 99	odf 17956	. . . 4 ⊢ 𝑂:(ℂ ∖ {0})⟶ℕ0
108		ffn 6045	. . . 4 ⊢ (𝑂:(ℂ ∖ {0})⟶ℕ0 → 𝑂 Fn (ℂ ∖ {0}))
109	107, 108	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑂 Fn (ℂ ∖ {0})
110		fniniseg 6338	. . 3 ⊢ (𝑂 Fn (ℂ ∖ {0}) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)))
111	109, 110	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)))
112	14, 106, 111	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   ∖ cdif 3571  {csn 4177   class class class wbr 4653  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937  ici 9938   · cmul 9941  -cneg 10267   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℝ⁺crp 11832  ↑cexp 12860  expce 14792  πcpi 14797   ∥ cdvds 14983   ↾_s cress 15858  0_gc0g 16100  SubMndcsubmnd 17334  Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540  odcod 17944  mulGrpcmgp 18489  Ringcrg 18547  ℂ_fldccnfld 19746  logclog 24301  ↑_𝑐ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-od 17948  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by: (None)