Theorem odujoin 17142

Description: Joins in a dual order are meets in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odujoin.m	⊢ ∧ = (meet‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odujoin	⊢ ∧ = (join‘𝐷)

Proof of Theorem odujoin

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odujoin.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝑂)
2		oduglb.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
4	2, 3	odulub 17141	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
5	4	breqd 4664	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐))
6	5	oprabbidv 6709	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
7		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝑂) = (meet‘𝑂)
8	3, 7	meetfval 17015	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐})
9		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (ODual‘𝑂) ∈ V
10	2, 9	eqeltri 2697	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
11		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
12		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐷) = (join‘𝐷)
13	11, 12	joinfval 17001	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
14	10, 13	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
15	6, 8, 14	3eqtr4d 2666	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
16		fvprc 6185	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = ∅)
17		fvprc 6185	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
18	2, 17	syl5eq 2668	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
19	18	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = (join‘∅))
20		join0 17138	. . . . 5 ⊢ (join‘∅) = ∅
21	19, 20	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = ∅)
22	16, 21	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
23	15, 22	pm2.61i 176	. 2 ⊢ (meet‘𝑂) = (join‘𝐷)
24	1, 23	eqtri 2644	1 ⊢ ∧ = (join‘𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915  {cpr 4179   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  {coprab 6651  lubclub 16942  glbcglb 16943  joincjn 16944  meetcmee 16945  ODualcodu 17128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ple 15961  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-odu 17129

This theorem is referenced by:  odulatb  17143  latmass  17188  latdisd  17190  odudlatb  17196  dlatjmdi  17197