Theorem opoeALTV 41594

Description: The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by AV, 20-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opoeALTV	⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Proof of Theorem opoeALTV

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑛 𝑧 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 41544	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → 𝐴 ∈ ℤ)
2		oddz 41544	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Odd → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 11417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 494	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
5		eqeq1 2626	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
6	5	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
7		dfodd6 41550	. . . . 5 ⊢ Odd = {𝑎 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1)}
8	6, 7	elrab2 3366	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Odd ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
9		eqeq1 2626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)))
10	9	rexbidv 3052	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)))
11		dfodd6 41550	. . . . . 6 ⊢ Odd = {𝑏 ∈ ℤ ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = ((2 · 𝑗) + 1)}
12	10, 11	elrab2 3366	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Odd ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)))
13		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
14	13	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
15	14	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
16	15	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
18	17	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ((𝑖 + 𝑗) + 1) ∈ ℤ)
19		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = ((𝑖 + 𝑗) + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
20	19	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = ((𝑖 + 𝑗) + 1) → ((𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) ∧ 𝑛 = ((𝑖 + 𝑗) + 1)) → ((𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
22		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)))
23	22	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → (𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1))))
24	23	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1))))
25	24	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)))
26		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
27		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
28		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
29	28	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ))
30	29	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ))
31		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
33		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
34		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
35		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
36	34, 35	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
37	32, 33, 36, 33	add4d 10264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (1 + 1)))
38		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
39		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 𝑖 ∈ ℂ)
40		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 𝑗 ∈ ℂ)
41	38, 39, 40	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · (𝑖 + 𝑗)) = ((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)))
42	41	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + (2 · 1)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (2 · 1)))
43		addcl 10018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℂ)
44	38, 43, 33	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + (2 · 1)))
45		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 + 1) = 2
46		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 1) = 2
47	45, 46	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (1 + 1) = (2 · 1))
49	48	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (2 · 1)))
50	42, 44, 49	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (1 + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
51	37, 50	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
52	26, 27, 51	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
53	52	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
54	53	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
55	54	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
57	25, 56	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝐴 + 𝐵) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
58	18, 21, 57	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))
59	58	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
60	59	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
61	60	expimpd 629	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
62	61	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))))
63	62	rexlimdva 3031	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))))
64	63	imp 445	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
65	12, 64	syl5bi 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → (𝐵 ∈ Odd → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
66	8, 65	sylbi 207	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → (𝐵 ∈ Odd → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
67	66	imp 445	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))
68		eqeq1 2626	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑧 = (2 · 𝑛) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
69	68	rexbidv 3052	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
70		dfeven4 41551	. . 3 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑛)}
71	69, 70	elrab2 3366	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ Even ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
72	4, 67, 71	sylanbrc 698	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  2c2 11070  ℤcz 11377   Even ceven 41537   Odd codd 41538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-even 41539  df-odd 41540

This theorem is referenced by:  omoeALTV  41596  epee  41614  odd2prm2  41627  bgoldbtbndlem1  41693