Theorem opoeALTV 41594

Description: The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by AV, 20-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opoeALTV	|- ( ( A e. Odd /\ B e. Odd ) -> ( A + B ) e. Even )

Proof of Theorem opoeALTV

Dummy variables a i j n z b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 41544	. . 3 |- ( A e. Odd -> A e. ZZ )
2		oddz 41544	. . 3 |- ( B e. Odd -> B e. ZZ )
3		zaddcl 11417	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. 2 |- ( ( A e. Odd /\ B e. Odd ) -> ( A + B ) e. ZZ )
5		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( a = ( ( 2 x. i ) + 1 ) <-> A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) )
6	5	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( a = A -> ( E. i e. ZZ a = ( ( 2 x. i ) + 1 ) <-> E. i e. ZZ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) )
7		dfodd6 41550	. . . . 5 |- Odd = { a e. ZZ | E. i e. ZZ a = ( ( 2 x. i ) + 1 ) }
8	6, 7	elrab2 3366	. . . 4 |- ( A e. Odd <-> ( A e. ZZ /\ E. i e. ZZ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) )
9		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( b = ( ( 2 x. j ) + 1 ) <-> B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
10	9	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( E. j e. ZZ b = ( ( 2 x. j ) + 1 ) <-> E. j e. ZZ B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
11		dfodd6 41550	. . . . . 6 |- Odd = { b e. ZZ | E. j e. ZZ b = ( ( 2 x. j ) + 1 ) }
12	10, 11	elrab2 3366	. . . . 5 |- ( B e. Odd <-> ( B e. ZZ /\ E. j e. ZZ B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
13		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( i + j ) e. ZZ )
14	13	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ZZ -> ( j e. ZZ -> ( i + j ) e. ZZ ) )
15	14	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) /\ B e. ZZ ) -> ( j e. ZZ -> ( i + j ) e. ZZ ) )
16	15	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) /\ B e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) -> ( i + j ) e. ZZ )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) /\ B e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) -> ( i + j ) e. ZZ )
18	17	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) /\ B e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) -> ( ( i + j ) + 1 ) e. ZZ )
19		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( ( i + j ) + 1 ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. ( ( i + j ) + 1 ) ) )
20	19	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( ( i + j ) + 1 ) -> ( ( A + B ) = ( 2 x. n ) <-> ( A + B ) = ( 2 x. ( ( i + j ) + 1 ) ) ) )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) /\ B e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) /\ n = ( ( i + j ) + 1 ) ) -> ( ( A + B ) = ( 2 x. n ) <-> ( A + B ) = ( 2 x. ( ( i + j ) + 1 ) ) ) )
22		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) /\ B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) -> ( A + B ) = ( ( ( 2 x. i ) + 1 ) + ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
23	22	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) -> ( B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) -> ( A + B ) = ( ( ( 2 x. i ) + 1 ) + ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) )
24	23	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) /\ B e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) -> ( B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) -> ( A + B ) = ( ( ( 2 x. i ) + 1 ) + ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) )
25	24	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) /\ B e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) -> ( A + B ) = ( ( ( 2 x. i ) + 1 ) + ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
26		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ZZ -> i e. CC )
27		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. ZZ -> j e. CC )
28		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. CC -> 2 e. CC )
29	28	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. CC /\ i e. CC ) -> ( 2 e. CC /\ i e. CC ) )
30	29	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> ( 2 e. CC /\ i e. CC ) )
31		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. CC /\ i e. CC ) -> ( 2 x. i ) e. CC )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> ( 2 x. i ) e. CC )
33		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> 1 e. CC )
34		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. CC -> 2 e. CC )
35		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. CC /\ j e. CC ) -> ( 2 x. j ) e. CC )
36	34, 35	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> ( 2 x. j ) e. CC )
37	32, 33, 36, 33	add4d 10264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( ( 2 x. i ) + 1 ) + ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. i ) + ( 2 x. j ) ) + ( 1 + 1 ) ) )
38		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> 2 e. CC )
39		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> i e. CC )
40		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> j e. CC )
41	38, 39, 40	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> ( 2 x. ( i + j ) ) = ( ( 2 x. i ) + ( 2 x. j ) ) )
42	41	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( 2 x. ( i + j ) ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( ( 2 x. i ) + ( 2 x. j ) ) + ( 2 x. 1 ) ) )
43		addcl 10018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> ( i + j ) e. CC )
44	38, 43, 33	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> ( 2 x. ( ( i + j ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( i + j ) ) + ( 2 x. 1 ) ) )
45		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 + 1 ) = 2
46		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 x. 1 ) = 2
47	45, 46	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 )
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
49	48	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( ( 2 x. i ) + ( 2 x. j ) ) + ( 1 + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. i ) + ( 2 x. j ) ) + ( 2 x. 1 ) ) )
50	42, 44, 49	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( ( 2 x. i ) + ( 2 x. j ) ) + ( 1 + 1 ) ) = ( 2 x. ( ( i + j ) + 1 ) ) )
51	37, 50	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( ( 2 x. i ) + 1 ) + ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( 2 x. ( ( i + j ) + 1 ) ) )
52	26, 27, 51	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. i ) + 1 ) + ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( 2 x. ( ( i + j ) + 1 ) ) )
53	52	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ZZ -> ( j e. ZZ -> ( ( ( 2 x. i ) + 1 ) + ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( 2 x. ( ( i + j ) + 1 ) ) ) )
54	53	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) /\ B e. ZZ ) -> ( j e. ZZ -> ( ( ( 2 x. i ) + 1 ) + ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( 2 x. ( ( i + j ) + 1 ) ) ) )
55	54	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) /\ B e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. i ) + 1 ) + ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( 2 x. ( ( i + j ) + 1 ) ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) /\ B e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) -> ( ( ( 2 x. i ) + 1 ) + ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( 2 x. ( ( i + j ) + 1 ) ) )
57	25, 56	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) /\ B e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) -> ( A + B ) = ( 2 x. ( ( i + j ) + 1 ) ) )
58	18, 21, 57	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) /\ B e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) /\ B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) -> E. n e. ZZ ( A + B ) = ( 2 x. n ) )
59	58	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) /\ B e. ZZ ) /\ j e. ZZ ) -> ( B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) -> E. n e. ZZ ( A + B ) = ( 2 x. n ) ) )
60	59	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) /\ B e. ZZ ) -> ( E. j e. ZZ B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) -> E. n e. ZZ ( A + B ) = ( 2 x. n ) ) )
61	60	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) -> ( ( B e. ZZ /\ E. j e. ZZ B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) -> E. n e. ZZ ( A + B ) = ( 2 x. n ) ) )
62	61	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) -> ( ( B e. ZZ /\ E. j e. ZZ B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) -> E. n e. ZZ ( A + B ) = ( 2 x. n ) ) ) )
63	62	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( E. i e. ZZ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) -> ( ( B e. ZZ /\ E. j e. ZZ B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) -> E. n e. ZZ ( A + B ) = ( 2 x. n ) ) ) )
64	63	imp 445	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ E. i e. ZZ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) -> ( ( B e. ZZ /\ E. j e. ZZ B = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) -> E. n e. ZZ ( A + B ) = ( 2 x. n ) ) )
65	12, 64	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ E. i e. ZZ A = ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) -> ( B e. Odd -> E. n e. ZZ ( A + B ) = ( 2 x. n ) ) )
66	8, 65	sylbi 207	. . 3 |- ( A e. Odd -> ( B e. Odd -> E. n e. ZZ ( A + B ) = ( 2 x. n ) ) )
67	66	imp 445	. 2 |- ( ( A e. Odd /\ B e. Odd ) -> E. n e. ZZ ( A + B ) = ( 2 x. n ) )
68		eqeq1 2626	. . . 4 |- ( z = ( A + B ) -> ( z = ( 2 x. n ) <-> ( A + B ) = ( 2 x. n ) ) )
69	68	rexbidv 3052	. . 3 |- ( z = ( A + B ) -> ( E. n e. ZZ z = ( 2 x. n ) <-> E. n e. ZZ ( A + B ) = ( 2 x. n ) ) )
70		dfeven4 41551	. . 3 |- Even = { z e. ZZ | E. n e. ZZ z = ( 2 x. n ) }
71	69, 70	elrab2 3366	. 2 |- ( ( A + B ) e. Even <-> ( ( A + B ) e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( A + B ) = ( 2 x. n ) ) )
72	4, 67, 71	sylanbrc 698	1 |- ( ( A e. Odd /\ B e. Odd ) -> ( A + B ) e. Even )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   2c2 11070   ZZcz 11377   Even ceven 41537   Odd codd 41538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-even 41539  df-odd 41540

This theorem is referenced by:  omoeALTV  41596  epee  41614  odd2prm2  41627  bgoldbtbndlem1  41693