Theorem pj1eu 18109

Description: Uniqueness of a left projection. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
pj1eu	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥, ⊕ ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pj1eu

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		pj1eu.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		pj1eu.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		pj1eu.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5	3, 4	lsmelval 18064	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦)))
6	1, 2, 5	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦)))
7	6	biimpa 501	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦))
8		reeanv 3107	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 (𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)))
9		eqtr2 2642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣))
10		pj1eu.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
11		pj1eu.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
12	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		pj1eu.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
16		pj1eu.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
17	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
18		simplrl 800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑇)
19		simplrr 801	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑢 ∈ 𝑇)
20		simprl 794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
21		simprr 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑣 ∈ 𝑈)
22	3, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21	subgdisjb 18106	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣) ↔ (𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣)))
23		simpl 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝑥 = 𝑢)
24	22, 23	syl6bi 243	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣) → 𝑥 = 𝑢))
25	9, 24	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
26	25	rexlimdvva 3038	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) → (∃𝑦 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 (𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
27	8, 26	syl5bir 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) → ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
28	27	ralrimivva 2971	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑢 ∈ 𝑇 ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
29	28	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑢 ∈ 𝑇 ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
30		oveq1 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑦))
31	30	eqeq2d 2632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ 𝑋 = (𝑢 + 𝑦)))
32	31	rexbidv 3052	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑦)))
33		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣))
34	33	eqeq2d 2632	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑋 = (𝑢 + 𝑦) ↔ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)))
35	34	cbvrexv 3172	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣))
36	32, 35	syl6bb 276	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)))
37	36	reu4 3400	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑢 ∈ 𝑇 ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢)))
38	7, 29, 37	sylanbrc 698	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ∃!wreu 2914   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748  LSSumclsm 18049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051

This theorem is referenced by:  pj1f  18110  pj1id  18112