Theorem resslem 15933

Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resslem.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
resslem.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resslem.f	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
resslem.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
resslem.b	⊢ 1 < 𝑁

Assertion

Ref	Expression
resslem	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resslem.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressid2 15928	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
4	3	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
5	4	3expib 1268	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
6	1, 2	ressval2 15929	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
7	6	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
8		resslem.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
9		resslem.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10	8, 9	ndxid 15883	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11	8, 9	ndxarg 15882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
12		1re 10039	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		resslem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 𝑁
14	12, 13	gtneii 10149	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ≠ 1
15	11, 14	eqnetri 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 1
16		basendx 15923	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) = 1
17	15, 16	neeqtrri 2867	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
18	10, 17	setsnid 15915	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
19	7, 18	syl6eqr 2674	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
20	19	3expib 1268	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
21	5, 20	pm2.61i 176	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
22		reldmress 15926	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
23	22	ovprc1 6684	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
24	1, 23	syl5eq 2668	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
25	24	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘∅))
26	8	str0 15911	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
27	25, 26	syl6eqr 2674	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = ∅)
28		fvprc 6185	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
29	27, 28	eqtr4d 2659	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
30	29	adantr 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
31	21, 30	pm2.61ian 831	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
32		resslem.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
33	31, 32	syl6reqr 2675	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1c1 9937   < clt 10074  ℕcn 11020  ndxcnx 15854   sSet csts 15855  Slot cslot 15856  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-nn 11021  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865

This theorem is referenced by:  ressplusg  15993  ressmulr  16006  ressstarv  16007  resssca  16031  ressvsca  16032  ressip  16033  resstset  16046  ressle  16059  ressds  16073  resshom  16078  ressco  16079  ressunif  22066