Theorem resslem 15933

Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resslem.r	|- R = ( W ↾s A )
resslem.e	|- C = ( E ` W )
resslem.f	|- E = Slot N
resslem.n	|- N e. NN
resslem.b	|- 1 < N

Assertion

Ref	Expression
resslem	|- ( A e. V -> C = ( E ` R ) )

Proof of Theorem resslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resslem.r	. . . . . . 7 |- R = ( W ↾s A )
2		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
3	1, 2	ressid2 15928	. . . . . 6 |- ( ( ( Base ` W ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = W )
4	3	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` W ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
5	4	3expib 1268	. . . 4 |- ( ( Base ` W ) C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) ) )
6	1, 2	ressval2 15929	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( Base ` W ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> R = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) )
7	6	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( -. ( Base ` W ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) ) )
8		resslem.f	. . . . . . . 8 |- E = Slot N
9		resslem.n	. . . . . . . 8 |- N e. NN
10	8, 9	ndxid 15883	. . . . . . 7 |- E = Slot ( E ` ndx )
11	8, 9	ndxarg 15882	. . . . . . . . 9 |- ( E ` ndx ) = N
12		1re 10039	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
13		resslem.b	. . . . . . . . . 10 |- 1 < N
14	12, 13	gtneii 10149	. . . . . . . . 9 |- N =/= 1
15	11, 14	eqnetri 2864	. . . . . . . 8 |- ( E ` ndx ) =/= 1
16		basendx 15923	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ndx ) = 1
17	15, 16	neeqtrri 2867	. . . . . . 7 |- ( E ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )
18	10, 17	setsnid 15915	. . . . . 6 |- ( E ` W ) = ( E ` ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) )
19	7, 18	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( ( -. ( Base ` W ) C_ A /\ W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
20	19	3expib 1268	. . . 4 |- ( -. ( Base ` W ) C_ A -> ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) ) )
21	5, 20	pm2.61i 176	. . 3 |- ( ( W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
22		reldmress 15926	. . . . . . . . 9 |- Rel dom ↾s
23	22	ovprc1 6684	. . . . . . . 8 |- ( -. W e. _V -> ( W ↾s A ) = (/) )
24	1, 23	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( -. W e. _V -> R = (/) )
25	24	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = ( E ` (/) ) )
26	8	str0 15911	. . . . . 6 |- (/) = ( E ` (/) )
27	25, 26	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = (/) )
28		fvprc 6185	. . . . 5 |- ( -. W e. _V -> ( E ` W ) = (/) )
29	27, 28	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( -. W e. _V -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
30	29	adantr 481	. . 3 |- ( ( -. W e. _V /\ A e. V ) -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
31	21, 30	pm2.61ian 831	. 2 |- ( A e. V -> ( E ` R ) = ( E ` W ) )
32		resslem.e	. 2 |- C = ( E ` W )
33	31, 32	syl6reqr 2675	1 |- ( A e. V -> C = ( E ` R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   < clt 10074   NNcn 11020   ndxcnx 15854   sSet csts 15855  Slot cslot 15856   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-nn 11021  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865

This theorem is referenced by:  ressplusg  15993  ressmulr  16006  ressstarv  16007  resssca  16031  ressvsca  16032  ressip  16033  resstset  16046  ressle  16059  ressds  16073  resshom  16078  ressco  16079  ressunif  22066