Theorem ressmulgnn 29683

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnn.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressmulgnn.2	⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3	⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
ressmulgnn.4	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulgnn.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
2		ressmulgnn.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
3		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	ressbas2 15931	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐻)
6		eqid 2622	. . 3 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
7		eqid 2622	. . 3 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
8		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
9	8, 1	ssexi 4803	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
10		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11	2, 10	ressplusg 15993	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻)
13		seqeq2 12805	. . . 4 ⊢ ((+g‘𝐺) = (+g‘𝐻) → seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))
15	5, 6, 7, 14	mulgnn 17547	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
16		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
17	1, 16	sseldi 3601	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
18		ressmulgnn.3	. . . 4 ⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
19		eqid 2622	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
20	3, 10, 18, 19	mulgnn 17547	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ∗ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
21	17, 20	syldan 487	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∗ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
22	15, 21	eqtr4d 2659	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {csn 4177   × cxp 5112  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1c1 9937  ℕcn 11020  seqcseq 12801  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  +_gcplusg 15941  inv_gcminusg 17423  ._gcmg 17540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-z 11378  df-seq 12802  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulg 17541

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  29684