Theorem subcn2 14325

Description: Complex number subtraction is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subcn2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑦,𝑧,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem subcn2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 10281	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → -𝐶 ∈ ℂ)
2		addcn2 14324	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴))
3	1, 2	syl3an3 1361	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴))
4		negcl 10281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → -𝑣 ∈ ℂ)
5		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → (𝑤 − -𝐶) = (-𝑣 − -𝐶))
6	5	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → (abs‘(𝑤 − -𝐶)) = (abs‘(-𝑣 − -𝐶)))
7	6	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → ((abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧))
8	7	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧)))
9		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → (𝑢 + 𝑤) = (𝑢 + -𝑣))
10	9	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → ((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶)) = ((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶)))
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) = (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))))
12	11	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → ((abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴 ↔ (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴))
13	8, 12	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
14	13	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑣 ∈ ℂ → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
15	4, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
16	15	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
17		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑣 ∈ ℂ)
18		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	17, 18	neg2subd 10409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (-𝑣 − -𝐶) = (𝐶 − 𝑣))
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) = (abs‘(𝐶 − 𝑣)))
21	18, 17	abssubd 14192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐶 − 𝑣)) = (abs‘(𝑣 − 𝐶)))
22	20, 21	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) = (abs‘(𝑣 − 𝐶)))
23	22	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧))
24	23	anbi2d 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧)))
25		negsub 10329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + -𝑣) = (𝑢 − 𝑣))
26	25	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + -𝑣) = (𝑢 − 𝑣))
27		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
28	27, 18	negsubd 10398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
29	26, 28	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶)) = ((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶)))
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) = (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))))
31	30	breq1d 4663	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴 ↔ (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴))
32	24, 31	imbi12d 334	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
33	16, 32	sylibd 229	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
34	33	ralrimdva 2969	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
35	34	ralimdva 2962	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
36	35	reximdv 3016	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
37	36	reximdv 3016	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
38	3, 37	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   + caddc 9939   < clt 10074   − cmin 10266  -cneg 10267  ℝ⁺crp 11832  abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  climsub  14364  rlimsub  14374  subcn  22669