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Theorem mulcn2 14326

Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulcn2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))

Distinct variable groups: 𝑣,𝑢,𝑦,𝑧,𝐴 𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧 𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧

**Proof of Theorem mulcn2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		rphalfcl 11858	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ⁺)
2	1	3ad2ant1 1082	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ⁺)
3		abscl 14018	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant3 1084	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
5		abscl 14018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
7		1re 10039	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		readdcl 10019	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
10		absge0 14027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
11		0lt1 10550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
12		addgegt0 10515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (abs‘𝐵) ∧ 0 < 1)) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
13	12	an4s 869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
14	7, 11, 13	mpanr12 721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
15	5, 10, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
16	15	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
17	9, 16	elrpd 11869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ⁺)
18	2, 17	rpdivcld 11889	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ⁺)
19	18	rpred 11872	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ)
20	4, 19	readdcld 10069	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ)
21		absge0 14027	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐶))
22	21	3ad2ant3 1084	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐶))
23		elrp 11834	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ⁺ ↔ (((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
24		addgegt0 10515	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ 0 < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
25	24	an4s 869	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶)) ∧ (((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
26	23, 25	sylan2b 492	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶)) ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ⁺) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
27	4, 22, 18, 26	syl21anc 1325	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
28	20, 27	elrpd 11869	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ⁺)
29	2, 28	rpdivcld 11889	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ⁺)
30		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
31		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32	30, 31	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 − 𝐵) ∈ ℂ)
33	32	abscld 14175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑢 − 𝐵)) ∈ ℝ)
34	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ⁺)
35	34	rpred 11872	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
36	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ⁺)
37	33, 35, 36	ltmuldivd 11919	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
38		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑣 ∈ ℂ)
39		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
40	38, 39	abs2difd 14196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ≤ (abs‘(𝑣 − 𝐶)))
41	38	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝑣) ∈ ℝ)
42	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
43	41, 42	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
44	38, 39	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑣 − 𝐶) ∈ ℂ)
45	44	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∈ ℝ)
46	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ)
47		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ) → ((((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ≤ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
48	43, 45, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ≤ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
49	40, 48	mpand 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
50	41, 42, 46	ltsubadd2d 10625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ↔ (abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
51	49, 50	sylibd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
52	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ)
53		ltle 10126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘𝑣) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ) → ((abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
54	41, 52, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
55	51, 54	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
56	32	absge0d 14183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 0 ≤ (abs‘(𝑢 − 𝐵)))
57		lemul2a 10878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((abs‘𝑣) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑢 − 𝐵)))) ∧ (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
58	57	ex 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝑣) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑢 − 𝐵)))) → ((abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
59	41, 52, 33, 56, 58	syl112anc 1330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
60	33, 41	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ∈ ℝ)
61	33, 52	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ)
62		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2)))
63	60, 61, 35, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2)))
64	63	expd 452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
65	55, 59, 64	3syld 60	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
66	65	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
67	37, 66	sylbird 250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
68	67	impd 447	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2)))
69	32, 38	absmuld 14193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝑢 − 𝐵) · 𝑣)) = ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)))
70	30, 31, 38	subdird 10487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑢 − 𝐵) · 𝑣) = ((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣)))
71	70	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝑢 − 𝐵) · 𝑣)) = (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))))
72	69, 71	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) = (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))))
73	72	breq1d 4663	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2)))
74	68, 73	sylibd 229	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2)))
75	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ⁺)
76	45, 35, 75	ltmuldiv2d 11920	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
77	31, 38, 39	subdid 10486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 · (𝑣 − 𝐶)) = ((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶)))
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐵 · (𝑣 − 𝐶))) = (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))))
79	31, 44	absmuld 14193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐵 · (𝑣 − 𝐶))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))))
80	78, 79	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))))
81	31	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
82	81	lep1d 10955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1))
83	9	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
84		abscl 14018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 − 𝐶) ∈ ℂ → (abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∈ ℝ)
85		absge0 14027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 − 𝐶) ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝑣 − 𝐶)))
86	84, 85	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 − 𝐶) ∈ ℂ → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑣 − 𝐶))))
87		lemul1a 10877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑣 − 𝐶)))) ∧ (abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))))
88	87	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑣 − 𝐶)))) → ((abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶)))))
89	86, 88	syl3an3 1361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑣 − 𝐶) ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶)))))
90	81, 83, 44, 89	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶)))))
91	82, 90	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))))
92	80, 91	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))))
93	31, 38	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝑣) ∈ ℂ)
94	31, 39	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
95	93, 94	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
96	95	abscld 14175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
97	83, 45	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ∈ ℝ)
98		lelttr 10128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ∧ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
99	96, 97, 35, 98	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ∧ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
100	92, 99	mpand 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) < (𝐴 / 2) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
101	76, 100	sylbird 250	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
102	101	adantld 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
103	74, 102	jcad 555	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2))))
104		mulcl 10020	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
105	104	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
106		simpl1 1064	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
107	106	rpred 11872	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
108		abs3lem 14078	. . . . 5 ⊢ ((((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
109	105, 94, 93, 107, 108	syl22anc 1327	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
110	103, 109	syld 47	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
111	110	ralrimivva 2971	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
112		breq2 4657	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
113	112	anbi1d 741	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧)))
114	113	imbi1d 331	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
115	114	2ralbidv 2989	. . 3 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
116		breq2 4657	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
117	116	anbi2d 740	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
118	117	imbi1d 331	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
119	118	2ralbidv 2989	. . 3 ⊢ (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
120	115, 119	rspc2ev 3324	. 2 ⊢ ((((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
121	29, 18, 111, 120	syl3anc 1326	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 class class class wbr 4653 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 / cdiv 10684 2c2 11070 ℝ⁺crp 11832 abscabs 13974

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976

This theorem is referenced by: climmul 14363 rlimmul 14375 mulcn 22670 mulc1cncf 22708 mullimc 39848 mullimcf 39855

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