Theorem subrgint 18802

Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgint	⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem subrgint

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 18786	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑟 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2	1	ssriv 3607	. . . 4 ⊢ (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)
3		sstr 3611	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
4	2, 3	mpan2 707	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
5		subgint 17618	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
6	4, 5	sylan 488	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7		ssel2 3598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	7	adantlr 751	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	9	subrg1cl 18788	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
12	11	ralrimiva 2966	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
13		fvex 6201	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
14	13	elint2 4482	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
15	12, 14	sylibr 224	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆)
16	8	adantlr 751	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
17		simprl 794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑆)
18		elinti 4485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝑟))
19	18	imp 445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
20	17, 19	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
21		simprr 796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
22		elinti 4485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑟))
23	22	imp 445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
24	21, 23	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
25		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	25	subrgmcl 18792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟 ∧ 𝑦 ∈ 𝑟) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
27	16, 20, 24, 26	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
28	27	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
29		ovex 6678	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V
30	29	elint2 4482	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
31	28, 30	sylibr 224	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
32	31	ralrimivva 2971	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
33		ssn0 3976	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubRing‘𝑅) ≠ ∅)
34		n0 3931	. . . 4 ⊢ ((SubRing‘𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
35		subrgrcl 18785	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
36	35	exlimiv 1858	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
37	34, 36	sylbi 207	. . 3 ⊢ ((SubRing‘𝑅) ≠ ∅ → 𝑅 ∈ Ring)
38		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39	38, 9, 25	issubrg2 18800	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
40	33, 37, 39	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
41	6, 15, 32, 40	mpbir3and 1245	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ∩ cint 4475  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  SubGrpcsubg 17588  1_rcur 18501  Ringcrg 18547  SubRingcsubrg 18776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778

This theorem is referenced by:  subrgin  18803  subrgmre  18804  aspsubrg  19331  rgspncl  37739