Theorem supxrunb1 12149

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrunb1	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrunb1

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℝ*))
2		pnfnlt 11962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑧)
3	1, 2	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ 𝐴 → ¬ +∞ < 𝑧))
4	3	ralrimiv 2965	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
6		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
7		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦))
8	7	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦))
9	8	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
10	9	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
11	10	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
12	6, 11	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
13		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14		ltp1 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 < (𝑧 + 1))
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑧 < (𝑧 + 1))
16	6	ancli 574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ))
17		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℝ*)
18		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 + 1) ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ*)
19		xrltletr 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
20	18, 19	syl3an2 1360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
21	17, 20	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
22	21	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
23	16, 22	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
24	15, 23	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
25	24	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
26	13, 25	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
27	26	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
28	27	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
29	28	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
30	12, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)
31	30	exp31 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
32	31	a1dd 50	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
33	32	com4r 94	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
34	33	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
35	34	imp 445	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
36	35	ralrimiv 2965	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
37	5, 36	jca 554	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
38		pnfxr 10092	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
39		supxr 12143	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
40	38, 39	mpanl2 717	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
41	37, 40	syldan 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
42	41	ex 450	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
43		rexr 10085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
44	43	ad2antlr 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45		ltpnf 11954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
46		breq2 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ 𝑥 < +∞))
47	45, 46	syl5ibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
48	47	impcom 446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
49	48	adantll 750	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
50		xrltso 11974	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → < Or ℝ*)
52		xrsupss 12139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)))
53	52	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)))
54	51, 53	suplub 8366	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
55	44, 49, 54	mp2and 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
56	55	ex 450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
57	43	ad2antlr 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
58	13	adantlr 751	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
59		xrltle 11982	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
60	57, 58, 59	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
61	60	reximdva 3017	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
62	56, 61	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
63	62	ralrimdva 2969	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
64	42, 63	impbid 202	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   Or wor 5034  (class class class)co 6650  supcsup 8346  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  supxrbnd1  12151  uzsup  12662  limsupval2  14211  limsupbnd2  14214  rlimuni  14281  rlimcld2  14309  rlimno1  14384  esumcvg  30148  suplesup  39555  liminfval2  40000