Theorem trlreslem 26596

Description: Lemma for trlres 26597. Formerly part of proof of eupthres 27075. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
trlres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))

Assertion

Ref	Expression
trlreslem	⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem trlreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlres.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		trlres.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	2	trlf1 26595	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
5		trlres.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
6		elfzouz2 12484	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		fzoss2 12496	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
9		f1ores 6151	. . 3 ⊢ ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
10	4, 8, 9	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
11		trlres.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
13	11	fveq2i 6194	. . . . 5 ⊢ (#‘𝐻) = (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
14		trliswlk 26594	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
15	2	wlkf 26510	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
16	1, 14, 15	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
17		elfzofz 12485	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹)))
18	5, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹)))
19		wlkreslem0 26565	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
20	16, 18, 19	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
21	13, 20	syl5eq 2668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐻) = 𝑁)
22	21	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(#‘𝐻)) = (0..^𝑁))
23		wrdf 13310	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼)
24		fimass 6081	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
25	15, 23, 24	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
26	1, 14, 25	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
27		ssdmres 5420	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼 ↔ dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
28	26, 27	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
29	12, 22, 28	f1oeq123d 6133	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁))))
30	10, 29	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  dom cdm 5114   ↾ cres 5116   “ cima 5117  ⟶wf 5884  –1-1→wf1 5885  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Walkscwlks 26492  Trailsctrls 26587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-substr 13303  df-wlks 26495  df-trls 26589

This theorem is referenced by:  trlres  26597  eupthres  27075