Theorem umgrun 26015

Description: The union 𝑈 of two multigraphs 𝐺 and 𝐻 with the same vertex set 𝑉 is a multigraph with the vertex 𝑉 and the union (𝐸 ∪ 𝐹) of the (indexed) edges. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph )
umgrun.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph )
umgrun.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgrun.f	⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
umgrun.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
umgrun.vh	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
umgrun.i	⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
umgrun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
umgrun.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
umgrun.un	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸 ∪ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
umgrun	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ UMGraph )

Proof of Theorem umgrun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrun.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph )
2		umgrun.vg	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		umgrun.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	umgrf 25993	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
6		umgrun.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph )
7		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
8		umgrun.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
9	7, 8	umgrf 25993	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ UMGraph → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (#‘𝑥) = 2})
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (#‘𝑥) = 2})
11		umgrun.vh	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
12	11	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Vtx‘𝐻))
13	12	pweqd 4163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑉 = 𝒫 (Vtx‘𝐻))
14	13	rabeqdv 3194	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (#‘𝑥) = 2})
15	14	feq3d 6032	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (#‘𝑥) = 2}))
16	10, 15	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
17		umgrun.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
18	5, 16, 17	fun2d 6068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
19		umgrun.un	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸 ∪ 𝐹))
20	19	dmeqd 5326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = dom (𝐸 ∪ 𝐹))
21		dmun 5331	. . . . 5 ⊢ dom (𝐸 ∪ 𝐹) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)
22	20, 21	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹))
23		umgrun.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
24	23	pweqd 4163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘𝑈) = 𝒫 𝑉)
25	24	rabeqdv 3194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
26	19, 22, 25	feq123d 6034	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (#‘𝑥) = 2} ↔ (𝐸 ∪ 𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}))
27	18, 26	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (#‘𝑥) = 2})
28		umgrun.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
29		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑈) = (Vtx‘𝑈)
30		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑈) = (iEdg‘𝑈)
31	29, 30	isumgrs 25991	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑊 → (𝑈 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (#‘𝑥) = 2}))
32	28, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (#‘𝑥) = 2}))
33	27, 32	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ UMGraph )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  2c2 11070  #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875   UMGraph cumgr 25976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-umgr 25978

This theorem is referenced by:  umgrunop  26016  usgrun  26082