Theorem ply1plusgfvi 19612

Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ply1plusgfvi	⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1plusgfvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvi 6255	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
2	1	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘𝑅))
3	2	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅)))
4		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
5		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (1𝑜 mPoly ∅) = (1𝑜 mPoly ∅)
6		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(Poly1‘∅))
7	4, 5, 6	ply1plusg 19595	. . . . 5 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(1𝑜 mPoly ∅))
8		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑜 mPwSer ∅) = (1𝑜 mPwSer ∅)
9		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(1𝑜 mPoly ∅)) = (+g‘(1𝑜 mPoly ∅))
10	5, 8, 9	mplplusg 19590	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1𝑜 mPoly ∅)) = (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅))
11		base0 15912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
12		psr1baslem 19555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅))
14		1on 7567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1𝑜 ∈ On
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1𝑜 ∈ On)
16	8, 11, 12, 13, 15	psrbas 19378	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (∅ ↑𝑚 (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)))
17	16	trud 1493	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (∅ ↑𝑚 (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
18		0nn0 11307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	18	fconst6 6095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1𝑜 × {0}):1𝑜⟶ℕ0
20		nn0ex 11298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
21	14	elexi 3213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1𝑜 ∈ V
22	20, 21	elmap 7886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1𝑜 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↔ (1𝑜 × {0}):1𝑜⟶ℕ0)
23	19, 22	mpbir 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (1𝑜 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)
24		ne0i 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1𝑜 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ≠ ∅)
25		map0b 7896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ≠ ∅ → (∅ ↑𝑚 (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) = ∅)
26	23, 24, 25	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ↑𝑚 (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) = ∅
27	17, 26	eqtr2i 2645	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅))
28		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘∅) = (+g‘∅)
29		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅))
30	8, 27, 28, 29	psrplusg 19381	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅))
31		xp0 5552	. . . . . . 7 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
32	31	reseq2i 5393	. . . . . 6 ⊢ ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅)) = ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅)
33	10, 30, 32	3eqtri 2648	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1𝑜 mPoly ∅)) = ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅)
34		res0 5400	. . . . . 6 ⊢ ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅) = ∅
35		df-plusg 15954	. . . . . . 7 ⊢ +g = Slot 2
36	35	str0 15911	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
37	34, 36	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅) = (+g‘∅)
38	7, 33, 37	3eqtri 2648	. . . 4 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘∅)
39		fvprc 6185	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
40	39	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘∅))
41	40	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘∅)))
42		fvprc 6185	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘𝑅) = ∅)
43	42	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘∅))
44	38, 41, 43	3eqtr4a 2682	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅)))
45	3, 44	pm2.61i 176	. 2 ⊢ (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅))
46	45	eqcomi 2631	1 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  ∅c0 3915  {csn 4177   I cid 5023   × cxp 5112   ↾ cres 5116  Oncon0 5723  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  1_𝑜c1o 7553   ↑_𝑚 cmap 7857  0cc0 9936  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941   mPwSer cmps 19351   mPoly cmpl 19353  Poly₁cpl1 19547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552

This theorem is referenced by: (None)