Theorem xralrple 12036

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xralrple	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem xralrple

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpge0 11845	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
2	1	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
3		simplr 792	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		rpre 11839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
5	4	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	3, 5	addge01d 10615	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
7	2, 6	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥))
8		simpll 790	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
9	3	rexrd 10089	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	3, 5	readdcld 10069	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 10089	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*)
12		xrletr 11989	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
14	7, 13	mpan2d 710	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
15	14	ralrimdva 2969	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
16		rexr 10085	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
17	16	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		qbtwnxr 12031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))
20	19	3expia 1267	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴)))
21	17, 18, 20	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴)))
22		simprrl 804	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 < 𝑦)
23		simplr 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		qre 11793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
25	24	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℝ)
26		difrp 11868	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝐵) ∈ ℝ+))
27	23, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝐵) ∈ ℝ+))
28	22, 27	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → (𝑦 − 𝐵) ∈ ℝ+)
29		simprrr 805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 < 𝐴)
30	25	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
31		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑦))
33	30, 31, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → (𝑦 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑦))
34	29, 33	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → ¬ 𝐴 ≤ 𝑦)
35	23	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	25	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℂ)
37	35, 36	pncan3d 10395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → (𝐵 + (𝑦 − 𝐵)) = 𝑦)
38	37	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦 − 𝐵)) ↔ 𝐴 ≤ 𝑦))
39	34, 38	mtbird 315	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦 − 𝐵)))
40		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝐵) → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + (𝑦 − 𝐵)))
41	40	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝐵) → (𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦 − 𝐵))))
42	41	notbid 308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝐵) → (¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦 − 𝐵))))
43	42	rspcev 3309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 − 𝐵) ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦 − 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
44	28, 39, 43	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
45		rexnal 2995	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
46	44, 45	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
47	46	rexlimdvaa 3032	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
48	21, 47	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
49	48	con2d 129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) → ¬ 𝐵 < 𝐴))
50		xrlenlt 10103	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
51	16, 50	sylan2 491	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
52	49, 51	sylibrd 249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝐵))
53	15, 52	impbid 202	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℚcq 11788  ℝ⁺crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  alrple  12037  ovollb2  23257  ovolun  23267  ovoliun  23273  ovolscalem2  23282  nulmbl2  23304  omssubadd  30362  xrlexaddrp  39568  xralrple2  39570  xralrple4  39589  xralrple3  39590  xrralrecnnle  39602  carageniuncl  40737