Theorem xrleid 11983

Description: 'Less than or equal to' is reflexive for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrleid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem xrleid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2	1	olci 406	. . 3 ⊢ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)
3		xrleloe 11977	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)))
4	2, 3	mpbiri 248	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ 𝐴)
5	4	anidms 677	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  xrmax1  12006  xrmax2  12007  xrmin1  12008  xrmin2  12009  xleadd1a  12083  xlemul1a  12118  supxrre  12157  infxrre  12166  iooid  12203  iccid  12220  icc0  12223  ubioc1  12227  lbico1  12228  lbicc2  12288  ubicc2  12289  snunioo  12298  snunico  12299  snunioc  12300  limsupgord  14203  limsupgre  14212  limsupbnd1  14213  limsupbnd2  14214  pcdvdstr  15580  pcadd  15593  ledm  17224  lern  17225  letsr  17227  imasdsf1olem  22178  blssps  22229  blss  22230  blcld  22310  nmolb  22521  xrsxmet  22612  metds0  22653  metdstri  22654  metdseq0  22657  ismbfd  23407  itg2eqa  23512  mdeglt  23825  deg1lt  23857  xraddge02  29521  eliccelico  29539  elicoelioo  29540  difioo  29544  xrstos  29679  xrge0omnd  29711  esumpmono  30141  signsply0  30628  elicc3  32311  ioounsn  37795  iocinico  37797  xreqle  39534  xadd0ge  39536  xrleidd  39610  infxrpnf  39674  snunioo2  39731  snunioo1  39738  limcresiooub  39874  ismbl4  40210  sge0prle  40618  iunhoiioo  40890  iccpartleu  41364  iccpartgel  41365