Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | xrex 11829 |
. . . 4
⊢
ℝ* ∈ V |
2 | 1 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (⊤
→ ℝ* ∈ V) |
3 | | id 22 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ ℝ*
→ 𝑦 ∈
ℝ*) |
4 | | xnegcl 12044 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ ℝ*
→ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) |
5 | | xaddcl 12070 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ*
∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥)
∈ ℝ*) |
6 | 3, 4, 5 | syl2anr 495 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥)
∈ ℝ*) |
7 | | xnegcl 12044 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ ℝ*
→ -𝑒𝑦 ∈ ℝ*) |
8 | | xaddcl 12070 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ -𝑒𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)
∈ ℝ*) |
9 | 7, 8 | sylan2 491 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)
∈ ℝ*) |
10 | 6, 9 | ifcld 4131 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦))
∈ ℝ*) |
11 | 10 | rgen2a 2977 |
. . . . 5
⊢
∀𝑥 ∈
ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦))
∈ ℝ* |
12 | | xrsxmet.1 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐷 =
(dist‘ℝ*𝑠) |
13 | 12 | xrsds 19789 |
. . . . . 6
⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ*
↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦))) |
14 | 13 | fmpt2 7237 |
. . . . 5
⊢
(∀𝑥 ∈
ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦))
∈ ℝ* ↔ 𝐷:(ℝ* ×
ℝ*)⟶ℝ*) |
15 | 11, 14 | mpbi 220 |
. . . 4
⊢ 𝐷:(ℝ* ×
ℝ*)⟶ℝ* |
16 | 15 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (⊤
→ 𝐷:(ℝ* ×
ℝ*)⟶ℝ*) |
17 | | breq2 4657 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥) =
if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦))
→ (0 ≤ (𝑦
+𝑒 -𝑒𝑥) ↔ 0 ≤ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)))) |
18 | | breq2 4657 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦) =
if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦))
→ (0 ≤ (𝑥
+𝑒 -𝑒𝑦) ↔ 0 ≤ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)))) |
19 | | xsubge0 12091 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ*
∧ 𝑥 ∈
ℝ*) → (0 ≤ (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥)
↔ 𝑥 ≤ 𝑦)) |
20 | 19 | ancoms 469 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (0 ≤ (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥)
↔ 𝑥 ≤ 𝑦)) |
21 | 20 | biimpar 502 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 0 ≤ (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥)) |
22 | | xrletri 11984 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)) |
23 | 22 | orcanai 952 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ 𝑥) |
24 | | xsubge0 12091 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (0 ≤ (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)
↔ 𝑦 ≤ 𝑥)) |
25 | 24 | biimpar 502 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 0 ≤ (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) |
26 | 23, 25 | syldan 487 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦) → 0 ≤ (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) |
27 | 17, 18, 21, 26 | ifbothda 4123 |
. . . . 5
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → 0 ≤ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦))) |
28 | 12 | xrsdsval 19790 |
. . . . 5
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (𝑥𝐷𝑦) = if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦))) |
29 | 27, 28 | breqtrrd 4681 |
. . . 4
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)) |
30 | 29 | adantl 482 |
. . 3
⊢
((⊤ ∧ (𝑥
∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) → 0 ≤
(𝑥𝐷𝑦)) |
31 | 29 | biantrud 528 |
. . . . 5
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))) |
32 | 28, 10 | eqeltrd 2701 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (𝑥𝐷𝑦) ∈
ℝ*) |
33 | | 0xr 10086 |
. . . . . 6
⊢ 0 ∈
ℝ* |
34 | | xrletri3 11985 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈
ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))) |
35 | 32, 33, 34 | sylancl 694 |
. . . . 5
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))) |
36 | | simpr 477 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) |
37 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = 0) |
38 | | 0re 10040 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 0 ∈
ℝ |
39 | 37, 38 | syl6eqel 2709 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ) |
40 | 12 | xrsdsreclb 19793 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑥
≠ 𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))) |
41 | 40 | 3expa 1265 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))) |
42 | 41 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))) |
43 | 39, 42 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) |
44 | 43 | simpld 475 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ) |
45 | 44 | recnd 10068 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ ℂ) |
46 | 43 | simprd 479 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ) |
47 | 46 | recnd 10068 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ) |
48 | | rexsub 12064 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦) =
(𝑥 − 𝑦)) |
49 | 43, 48 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦) =
(𝑥 − 𝑦)) |
50 | 28 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
0)) |
51 | 50 | biimpa 501 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) → if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
0) |
52 | 51 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
0) |
53 | | xneg11 12046 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥)
∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) →
(-𝑒(𝑦
+𝑒 -𝑒𝑥) = -𝑒0 ↔ (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥) =
0)) |
54 | 6, 33, 53 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (-𝑒(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥) =
-𝑒0 ↔ (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥) =
0)) |
55 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*) |
56 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) |
57 | | xnegdi 12078 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ*
∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) →
-𝑒(𝑦
+𝑒 -𝑒𝑥) = (-𝑒𝑦 +𝑒
-𝑒-𝑒𝑥)) |
58 | 55, 56, 57 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → -𝑒(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥) =
(-𝑒𝑦
+𝑒 -𝑒-𝑒𝑥)) |
59 | | xnegneg 12045 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ ℝ*
→ -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥) |
60 | 59 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥) |
61 | 60 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (-𝑒𝑦 +𝑒
-𝑒-𝑒𝑥) = (-𝑒𝑦 +𝑒 𝑥)) |
62 | 7 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*) |
63 | | simpl 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*) |
64 | | xaddcom 12071 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((-𝑒𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*)
→ (-𝑒𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) |
65 | 62, 63, 64 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (-𝑒𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) |
66 | 58, 61, 65 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → -𝑒(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥) =
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) |
67 | | xneg0 12043 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
-𝑒0 = 0 |
68 | 67 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → -𝑒0 = 0) |
69 | 66, 68 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (-𝑒(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥) =
-𝑒0 ↔ (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦) =
0)) |
70 | 54, 69 | bitr3d 270 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → ((𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥) = 0
↔ (𝑥
+𝑒 -𝑒𝑦) = 0)) |
71 | 70 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥) = 0
↔ (𝑥
+𝑒 -𝑒𝑦) = 0)) |
72 | | biidd 252 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦) = 0
↔ (𝑥
+𝑒 -𝑒𝑦) = 0)) |
73 | | eqeq1 2626 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥) =
if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦))
→ ((𝑦
+𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
0)) |
74 | 73 | bibi1d 333 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥) =
if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦))
→ (((𝑦
+𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦) =
0) ↔ (if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
0 ↔ (𝑥
+𝑒 -𝑒𝑦) = 0))) |
75 | | eqeq1 2626 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦) =
if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦))
→ ((𝑥
+𝑒 -𝑒𝑦) = 0 ↔ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
0)) |
76 | 75 | bibi1d 333 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦) =
if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦))
→ (((𝑥
+𝑒 -𝑒𝑦) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦) =
0) ↔ (if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
0 ↔ (𝑥
+𝑒 -𝑒𝑦) = 0))) |
77 | 74, 76 | ifboth 4124 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥) = 0
↔ (𝑥
+𝑒 -𝑒𝑦) = 0) ∧ ((𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦) = 0
↔ (𝑥
+𝑒 -𝑒𝑦) = 0)) → (if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
0 ↔ (𝑥
+𝑒 -𝑒𝑦) = 0)) |
78 | 71, 72, 77 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
0 ↔ (𝑥
+𝑒 -𝑒𝑦) = 0)) |
79 | 52, 78 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦) =
0) |
80 | 49, 79 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 − 𝑦) = 0) |
81 | 45, 47, 80 | subeq0d 10400 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) |
82 | 36, 81 | pm2.61dane 2881 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) → 𝑥 = 𝑦) |
83 | 82 | ex 450 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦)) |
84 | 12 | xrsdsval 19790 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (𝑦𝐷𝑦) = if(𝑦 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑦),
(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑦))) |
85 | 84 | anidms 677 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ ℝ*
→ (𝑦𝐷𝑦) = if(𝑦 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑦),
(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑦))) |
86 | | xrleid 11983 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ ℝ*
→ 𝑦 ≤ 𝑦) |
87 | 86 | iftrued 4094 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ ℝ*
→ if(𝑦 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑦),
(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑦)) |
88 | | xnegid 12069 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ ℝ*
→ (𝑦
+𝑒 -𝑒𝑦) = 0) |
89 | 85, 87, 88 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ ℝ*
→ (𝑦𝐷𝑦) = 0) |
90 | 89 | adantl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (𝑦𝐷𝑦) = 0) |
91 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑦)) |
92 | 91 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑦𝐷𝑦) = 0)) |
93 | 90, 92 | syl5ibrcom 237 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐷𝑦) = 0)) |
94 | 83, 93 | impbid 202 |
. . . . 5
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦)) |
95 | 31, 35, 94 | 3bitr2d 296 |
. . . 4
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑦)) |
96 | 95 | adantl 482 |
. . 3
⊢
((⊤ ∧ (𝑥
∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑦)) |
97 | | simplrr 801 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ) |
98 | 97 | leidd 10594 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) ≤ (𝑧𝐷𝑦)) |
99 | | simpr 477 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → 𝑧 = 𝑥) |
100 | 99 | oveq1d 6665 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑥𝐷𝑦)) |
101 | 99 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑥𝐷𝑥)) |
102 | | simpll1 1100 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*) |
103 | | oveq12 6659 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦𝐷𝑦) = (𝑥𝐷𝑥)) |
104 | 103 | anidms 677 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐷𝑦) = (𝑥𝐷𝑥)) |
105 | 104 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0)) |
106 | 105, 89 | vtoclga 3272 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ ℝ*
→ (𝑥𝐷𝑥) = 0) |
107 | 102, 106 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑥𝐷𝑥) = 0) |
108 | 101, 107 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑥) = 0) |
109 | 108 | oveq1d 6665 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = (0 + (𝑧𝐷𝑦))) |
110 | 97 | recnd 10068 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℂ) |
111 | 110 | addid2d 10237 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (0 + (𝑧𝐷𝑦)) = (𝑧𝐷𝑦)) |
112 | 109, 111 | eqtr2d 2657 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) = ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))) |
113 | 98, 100, 112 | 3brtr3d 4684 |
. . . . 5
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))) |
114 | | simpr 477 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦) |
115 | 114 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑦𝐷𝑥)) |
116 | | simplrl 800 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) |
117 | 115, 116 | eqeltrrd 2702 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ) |
118 | 117 | leidd 10594 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ≤ (𝑦𝐷𝑥)) |
119 | | simpll1 1100 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*) |
120 | | simpll2 1101 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*) |
121 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑦𝐷𝑥) = (𝑦𝐷𝑦)) |
122 | 91, 121 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥)) |
123 | 122 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥)) |
124 | | eqeq2 2633 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦) =
if(𝑦 ≤ 𝑥, (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦),
(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥))
→ (if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)
↔ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
if(𝑦 ≤ 𝑥, (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦),
(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥)))) |
125 | | eqeq2 2633 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥) =
if(𝑦 ≤ 𝑥, (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦),
(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥))
→ (if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥)
↔ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
if(𝑦 ≤ 𝑥, (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦),
(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥)))) |
126 | | xrleloe 11977 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦))) |
127 | 126 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦))) |
128 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦) |
129 | 128 | neneqd 2799 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦) |
130 | | biorf 420 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (¬
𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦))) |
131 | | orcom 402 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)) |
132 | 130, 131 | syl6bb 276 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (¬
𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦))) |
133 | 129, 132 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦))) |
134 | | xrltnle 10105 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥)) |
135 | 134 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥)) |
136 | 127, 133,
135 | 3bitr2d 296 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥)) |
137 | 136 | con2bid 344 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦)) |
138 | 137 | biimpa 501 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≤ 𝑦) |
139 | 138 | iffalsed 4097 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) |
140 | 136 | biimpar 502 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝑦) |
141 | 140 | iftrued 4094 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥)) |
142 | 124, 125,
139, 141 | ifbothda 4123 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦)) =
if(𝑦 ≤ 𝑥, (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦),
(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥))) |
143 | 28 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥),
(𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦))) |
144 | 12 | xrsdsval 19790 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ*
∧ 𝑥 ∈
ℝ*) → (𝑦𝐷𝑥) = if(𝑦 ≤ 𝑥, (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦),
(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥))) |
145 | 144 | ancoms 469 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (𝑦𝐷𝑥) = if(𝑦 ≤ 𝑥, (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦),
(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥))) |
146 | 145 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) = if(𝑦 ≤ 𝑥, (𝑥 +𝑒
-𝑒𝑦),
(𝑦 +𝑒
-𝑒𝑥))) |
147 | 142, 143,
146 | 3eqtr4d 2666 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥)) |
148 | 123, 147 | pm2.61dane 2881 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ*) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥)) |
149 | 119, 120,
148 | syl2anc 693 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥)) |
150 | 114 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑦)) |
151 | 120, 89 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑦) = 0) |
152 | 150, 151 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑦) = 0) |
153 | 115, 152 | oveq12d 6668 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑦𝐷𝑥) + 0)) |
154 | 117 | recnd 10068 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℂ) |
155 | 154 | addid1d 10236 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → ((𝑦𝐷𝑥) + 0) = (𝑦𝐷𝑥)) |
156 | 153, 155 | eqtrd 2656 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = (𝑦𝐷𝑥)) |
157 | 118, 149,
156 | 3brtr4d 4685 |
. . . . 5
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))) |
158 | | simplrl 800 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) |
159 | | simpll3 1102 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ*) |
160 | | simpll1 1100 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*) |
161 | | simprl 794 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → 𝑧 ≠ 𝑥) |
162 | 12 | xrsdsreclb 19793 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ*
∧ 𝑥 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
≠ 𝑥) → ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))) |
163 | 159, 160,
161, 162 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))) |
164 | 158, 163 | mpbid 222 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) |
165 | 164 | simprd 479 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
166 | 165 | recnd 10068 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ) |
167 | | simplrr 801 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ) |
168 | | simpll2 1101 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*) |
169 | | simprr 796 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → 𝑧 ≠ 𝑦) |
170 | 12 | xrsdsreclb 19793 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
≠ 𝑦) → ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))) |
171 | 159, 168,
169, 170 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))) |
172 | 167, 171 | mpbid 222 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) |
173 | 172 | simprd 479 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ) |
174 | 173 | recnd 10068 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ) |
175 | 164 | simpld 475 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ) |
176 | 175 | recnd 10068 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ) |
177 | 166, 174,
176 | abs3difd 14199 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦)))) |
178 | 12 | xrsdsreval 19791 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦))) |
179 | 165, 173,
178 | syl2anc 693 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦))) |
180 | 12 | xrsdsreval 19791 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧𝐷𝑥) = (abs‘(𝑧 − 𝑥))) |
181 | 164, 180 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → (𝑧𝐷𝑥) = (abs‘(𝑧 − 𝑥))) |
182 | 176, 166 | abssubd 14192 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → (abs‘(𝑧 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 𝑧))) |
183 | 181, 182 | eqtrd 2656 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → (𝑧𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 𝑧))) |
184 | 12 | xrsdsreval 19791 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧𝐷𝑦) = (abs‘(𝑧 − 𝑦))) |
185 | 172, 184 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → (𝑧𝐷𝑦) = (abs‘(𝑧 − 𝑦))) |
186 | 183, 185 | oveq12d 6668 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦)))) |
187 | 177, 179,
186 | 3brtr4d 4685 |
. . . . 5
⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))) |
188 | 113, 157,
187 | pm2.61da2ne 2882 |
. . . 4
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑦 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))) |
189 | 188 | 3adant1 1079 |
. . 3
⊢
((⊤ ∧ (𝑥
∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*)
∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))) |
190 | 2, 16, 30, 96, 189 | isxmet2d 22132 |
. 2
⊢ (⊤
→ 𝐷 ∈
(∞Met‘ℝ*)) |
191 | 190 | trud 1493 |
1
⊢ 𝐷 ∈
(∞Met‘ℝ*) |