Theorem zlmlem 19865

Description: Lemma for zlmbas 19866 and zlmplusg 19867. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
zlmlem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
zlmlem.4	⊢ 𝑁 < 5

Assertion

Ref	Expression
zlmlem	⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Proof of Theorem zlmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3	1, 2	zlmval 19864	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
4	3	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
5		zlmlem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
6		zlmlem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
7	5, 6	ndxid 15883	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
8	5, 6	ndxarg 15882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
9	6	nnrei 11029	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
10	8, 9	eqeltri 2697	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
11		zlmlem.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 < 5
12	8, 11	eqbrtri 4674	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < 5
13	10, 12	ltneii 10150	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 5
14		scandx 16013	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
15	13, 14	neeqtrri 2867	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
16	7, 15	setsnid 15915	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
17		5lt6 11204	. . . . . . . 8 ⊢ 5 < 6
18		5re 11099	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
19		6re 11101	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ
20	10, 18, 19	lttri 10163	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 5 ∧ 5 < 6) → (𝐸‘ndx) < 6)
21	12, 17, 20	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < 6
22	10, 21	ltneii 10150	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 6
23		vscandx 16015	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
24	22, 23	neeqtrri 2867	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
25	7, 24	setsnid 15915	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
26	16, 25	eqtri 2644	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
27	4, 26	syl6reqr 2675	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
28	5	str0 15911	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
29		fvprc 6185	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
30		fvprc 6185	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ℤMod‘𝐺) = ∅)
31	1, 30	syl5eq 2668	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑊 = ∅)
32	31	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘∅))
33	28, 29, 32	3eqtr4a 2682	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
34	27, 33	pm2.61i 176	1 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935   < clt 10074  ℕcn 11020  5c5 11073  6c6 11074  ndxcnx 15854   sSet csts 15855  Slot cslot 15856  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  ._gcmg 17540  ℤ_ringzring 19818  ℤModczlm 19849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-sets 15864  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-zlm 19853

This theorem is referenced by:  zlmbas  19866  zlmplusg  19867  zlmmulr  19868