Theorem znnenlem 14940

Description: Lemma for znnen 14941. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnenlem	⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (2 · 𝑥) = ((-2 · 𝑦) + 1)))

Proof of Theorem znnenlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11381	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
2		zre 11381	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
3		0re 10040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑦))
5	3, 4	mpan2 707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑦))
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑦))
7	6	anbi1d 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 0 ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (¬ 0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 𝑥)))
8		ltletr 10129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 0 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
9	3, 8	mp3an2 1412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 0 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
10	7, 9	sylbird 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((¬ 0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
11	10	ancoms 469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((¬ 0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
12	11	ancomsd 470	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → 𝑦 < 𝑥))
13		ltne 10134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑦)
14	13	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → 𝑥 ≠ 𝑦))
15	14	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 → 𝑥 ≠ 𝑦))
16	12, 15	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦))
17	1, 2, 16	syl2an 494	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦))
18	17	impcom 446	. . 3 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
19		znegcl 11412	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
20		zneo 11460	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑦 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · -𝑦) + 1))
21	19, 20	sylan2 491	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · -𝑦) + 1))
22		2cn 11091	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		zcn 11382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
24		mulneg12 10468	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-2 · 𝑦) = (2 · -𝑦))
25	22, 23, 24	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-2 · 𝑦) = (2 · -𝑦))
26	25	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (-2 · 𝑦) = (2 · -𝑦))
27	26	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((-2 · 𝑦) + 1) = ((2 · -𝑦) + 1))
28	21, 27	neeqtrrd 2868	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((-2 · 𝑦) + 1))
29	28	adantl 482	. . 3 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (2 · 𝑥) ≠ ((-2 · 𝑦) + 1))
30	18, 29	2thd 255	. 2 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (2 · 𝑥) ≠ ((-2 · 𝑦) + 1)))
31	30	necon4bid 2839	1 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (2 · 𝑥) = ((-2 · 𝑦) + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075  -cneg 10267  2c2 11070  ℤcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by: (None)