Theorem zneo 11460

Description: No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zneo	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ≠ ((2 · 𝐵) + 1))

Proof of Theorem zneo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 11455	. . 3 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2		2cn 11091	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		zcn 11382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		mulcl 10020	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
6	2, 4, 5	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
7		zcn 11382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		mulcl 10020	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
10	2, 8, 9	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
11		1cnd 10056	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
12	6, 10, 11	subaddd 10410	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 ↔ ((2 · 𝐵) + 1) = (2 · 𝐴)))
13	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
14	13, 4, 8	subdid 10486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · (𝐴 − 𝐵)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)))
15	14	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 · (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2))
16		zsubcl 11419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
17		zcn 11382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
19		2ne0 11113	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
21	18, 13, 20	divcan3d 10806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 · (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (𝐴 − 𝐵))
22	15, 21	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) = (𝐴 − 𝐵))
23	22, 16	eqeltrd 2701	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) ∈ ℤ)
24		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) = (1 / 2))
25	24	eleq1d 2686	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 → ((((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
26	23, 25	syl5ibcom 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 → (1 / 2) ∈ ℤ))
27	12, 26	sylbird 250	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐵) + 1) = (2 · 𝐴) → (1 / 2) ∈ ℤ))
28	27	necon3bd 2808	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ (1 / 2) ∈ ℤ → ((2 · 𝐵) + 1) ≠ (2 · 𝐴)))
29	1, 28	mpi 20	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐵) + 1) ≠ (2 · 𝐴))
30	29	necomd 2849	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ≠ ((2 · 𝐵) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266   / cdiv 10684  2c2 11070  ℤcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  nneo  11461  zeo2  11464  znnenlem  14940