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Theorem znnenlem 14940
Description: Lemma for znnen 14941. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
znnenlem |- ( ( ( 0 <_ x /\ -. 0 <_ y ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x = y <-> ( 2 x. x ) = ( ( -u 2 x. y ) + 1 ) ) )
Proof of Theorem znnenlem
StepHypRef Expression
1 zre 11381 . . . . 5 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
2 zre 11381 . . . . 5 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
3 0re 10040 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
4 ltnle 10117 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( y < 0 <-> -. 0 <_ y ) )
53, 4mpan2 707 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> ( y < 0 <-> -. 0 <_ y ) )
65adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR ) -> ( y < 0 <-> -. 0 <_ y ) )
76anbi1d 741 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y < 0 /\ 0 <_ x ) <-> ( -. 0 <_ y /\ 0 <_ x ) ) )
8 ltletr 10129 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y < 0 /\ 0 <_ x ) -> y < x ) )
93, 8mp3an2 1412 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y < 0 /\ 0 <_ x ) -> y < x ) )
107, 9sylbird 250 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( -. 0 <_ y /\ 0 <_ x ) -> y < x ) )
1110ancoms 469 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( -. 0 <_ y /\ 0 <_ x ) -> y < x ) )
1211ancomsd 470 . . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( 0 <_ x /\ -. 0 <_ y ) -> y < x ) )
13 ltne 10134 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ y < x ) -> x =/= y )
1413ex 450 . . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( y < x -> x =/= y ) )
1514adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( y < x -> x =/= y ) )
1612, 15syld 47 . . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( 0 <_ x /\ -. 0 <_ y ) -> x =/= y ) )
171, 2, 16syl2an 494 . . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ x /\ -. 0 <_ y ) -> x =/= y ) )
1817impcom 446 . . 3 |- ( ( ( 0 <_ x /\ -. 0 <_ y ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x =/= y )
19 znegcl 11412 . . . . . 6 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
20 zneo 11460 . . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ -u y e. ZZ ) -> ( 2 x. x ) =/= ( ( 2 x. -u y ) + 1 ) )
2119, 20sylan2 491 . . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( 2 x. x ) =/= ( ( 2 x. -u y ) + 1 ) )
22 2cn 11091 . . . . . . . 8 |- 2 e. CC
23 zcn 11382 . . . . . . . 8 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
24 mulneg12 10468 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ y e. CC ) -> ( -u 2 x. y ) = ( 2 x. -u y ) )
2522, 23, 24sylancr 695 . . . . . . 7 |- ( y e. ZZ -> ( -u 2 x. y ) = ( 2 x. -u y ) )
2625adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( -u 2 x. y ) = ( 2 x. -u y ) )
2726oveq1d 6665 . . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( -u 2 x. y ) + 1 ) = ( ( 2 x. -u y ) + 1 ) )
2821, 27neeqtrrd 2868 . . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( 2 x. x ) =/= ( ( -u 2 x. y ) + 1 ) )
2928adantl 482 . . 3 |- ( ( ( 0 <_ x /\ -. 0 <_ y ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( 2 x. x ) =/= ( ( -u 2 x. y ) + 1 ) )
3018, 292thd 255 . 2 |- ( ( ( 0 <_ x /\ -. 0 <_ y ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x =/= y <-> ( 2 x. x ) =/= ( ( -u 2 x. y ) + 1 ) ) )
3130necon4bid 2839 1 |- ( ( ( 0 <_ x /\ -. 0 <_ y ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x = y <-> ( 2 x. x ) = ( ( -u 2 x. y ) + 1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   2c2 11070   ZZcz 11377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378
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