Theorem dfabsmax 10103

Description: Absolute value of a real number in terms of maximum. Definition 3.13 of [Geuvers], p. 11. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 21-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfabsmax	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))

Proof of Theorem dfabsmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 7369	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3		maxcl 10096	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4	2, 3	mpdan 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5		maxle2 10098	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → -𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
6	2, 5	mpdan 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
7	1, 4, 6	lenegcon1d 7627	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
8		maxle1 10097	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
9	2, 8	mpdan 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
10		absle 9975	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ↔ (-sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))))
11	4, 10	mpdan 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ↔ (-sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))))
12	7, 9, 11	mpbir2and 885	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
13		recn 7106	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	abscld 10067	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15		leabs 9960	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
16	2	leabsd 10047	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
17	13	absnegd 10075	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
18	16, 17	breqtrd 3809	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
19		maxleast 10099	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ (abs‘𝐴) ∧ -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))) → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ (abs‘𝐴))
20	1, 2, 14, 15, 18, 19	syl32anc 1177	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ (abs‘𝐴))
21	14, 4	letri3d 7226	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) = sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∧ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ (abs‘𝐴))))
22	12, 20, 21	mpbir2and 885	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  {cpr 3399   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  supcsup 6395  ℝcr 6980   < clt 7153   ≤ cle 7154  -cneg 7280  abscabs 9883

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-sup 6397  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885

This theorem is referenced by: (None)